조르당 측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Simple set1.png|섬네일|2차원 초등 집합의 예시]]
[[파일:Simple set2.png|섬네일|2차원 초등 집합은 유한 개의 서로소 직사각형들의 합집합이다.]]
[[파일:Jordan illustration.png|섬네일|조르당 가측 집합일 필요 충분 조건은 초등 집합을 통해 안과 밖에서 부피를 근사한 결과가 같은 것이다.]]
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''조르당 측도'''(-測度, {{llang|en|Jordan measure}}) 또는 '''페아노-조르당 측도'''(-測度, {{llang|en|Peano–Jordan measure}})는 리만 [[중적분]]을 정의하는 데 쓰이는 [[준측도]]이다.

== 정의 ==
=== 조르당 외측도와 조르당 내측도 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 속 [[유계 집합]] <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>의 '''조르당 외측도'''(-外測度, {{llang|en|outer Jordan measure}})와 '''조르당 내측도'''(-內測度, {{llang|en|inner Jordan measure}})는 각각 다음과 같다.
:<math>{\mu_{\operatorname J}}^*(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon m\in\mathbb N,\;a_i,b_i\in\mathbb R,\;a_i\le b_i,\;\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\supseteq E\right\}</math>
:<math>{\mu_{\operatorname J}}_*(E)=\sup\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon m\in\mathbb N,\;a_i,b_i\in\mathbb R,\;a_i\le b_i,\;\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\subseteq E\right\}</math>
여기서 <math>\textstyle\bigsqcup</math>은 [[분리 합집합]]이다.

=== 조르당 가측 집합 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 속의 '''초등 집합'''(初等集合, {{llang|en|elementary set}})은 [[구간]]의 [[곱집합]]들의 유한 합집합으로 나타낼 수 있는 부분 집합이다.

[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 속 [[유계 집합]] <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>E</math>를 '''조르당 가측 집합'''(-可測集合, {{llang|en|Jordan measurable set}})이라고 한다.
* <math>{\mu_{\operatorname J}}^*(E)={\mu_{\operatorname J}}_*(E)</math>
* <math>{\mu_{\operatorname J}}^*(\partial E)=0</math>
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>A_\epsilon\subseteq E\subseteq B_\epsilon</math>이며 <math>{\mu_{\operatorname J}}^*(B_\epsilon\setminus A_\epsilon)<\epsilon</math>인 초등 집합 <math>A_\epsilon,B_\epsilon\subseteq\mathbb R^n</math>이 존재한다.
여기서 <math>\partial E</math>는 <math>E</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]]이다.

=== 조르당 측도 ===
조르당 가측 집합 <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>의 '''조르당 측도'''는 다음과 같다.
:<math>\mu_{\operatorname J}(E)
={\mu_{\operatorname J}}^*(E)
={\mu_{\operatorname J}}_*(E)
=\lim_{\epsilon\to 0}\mu_{\operatorname J}(A_\epsilon)
=\lim_{\epsilon\to 0}\mu_{\operatorname J}(B_\epsilon)
</math>

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
조르당 가측 집합들은 각각 [[집합환]]을 이룬다. 즉, 유한 [[합집합]], 유한 [[교집합]], [[차집합]]에 대하여 닫혀 있다. 임의의 조르당 가측 집합 <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>E</math>의 조르당 가측 부분 집합들은 [[집합 대수]]를 이룬다.

=== 르베그 측도와의 관계 ===
조르당 측도는 조르당 가측 집합들의 [[집합환]] 위의 [[준측도]]를 이룬다. 모든 조르당 가측 집합은 [[르베그 가측 집합]]이며, 조르당 가측 집합의 조르당 측도는 [[르베그 측도]]와 일치한다. 따라서 대부분의 경우 조르당 측도 대신 르베그 측도를 사용하여도 무방하다.

=== 조르당 가측 집합일 충분 조건 ===
집합 <math>K\subseteq\mathbb R^n</math>이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다면, 조르당 가측 집합이다.<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume I
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|237, Exercise 3.10.75}}
* <math>K</math>는 [[콤팩트 집합]]이다. ([[하이네-보렐 정리]]에 따라 이는 [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]과 [[동치]]이다.)
* 임의의 <math>x,y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>\{t\in\mathbb R\colon x+ty\in K\}</math>는 유한 개의 [[구간]]의 합집합이다.

== 예 ==
집합
:<math>[0,1]\cap\mathbb Q\subseteq\mathbb R</math>
는 조르당 가측 집합이 아니다. 이는 조르당 외측도와 내측도가 각각 1, 0이기 때문이다. (또는 그 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>[0,1]</math>의 조르당 측도가 1이기 때문이다.) 이 집합은 가산 개의 [[한원소 집합]]의 합집합이므로, [[르베그 가측 집합]]이며, 그 [[르베그 측도]]는 0이다. 모든 한원소 집합은 (조르당 측도가 0인) 조르당 가측 집합이므로, 조르당 가측 집합은 가산 합집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, [[시그마 대수]]를 이루지 않는다.

== 역사 ==
[[주세페 페아노]]<ref name="Peano">{{서적 인용
|성=Peano
|이름=Giuseppe
|저자링크=주세페 페아노
|제목=Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale
|url=https://archive.org/details/applicazionigeo00peangoog
|언어=it
|위치=Torino
|날짜=1887
}}</ref>와 [[카미유 조르당]]<ref name="Jordan">{{서적 인용
|성=Jordan
|이름=Camille
|저자링크=카미유 조르당
|제목=Cours d'analyse de l'École polytechnique. T. 1–3
|언어=fr
|판=2
|위치=Paris
|날짜=1893–1896
}}</ref>이 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Jordan measure|성=Terekhin|이름=A. P.}}
* {{매스월드|id=JordanMeasure|제목=Jordan measure|성=Derwent|이름=John}}

[[분류:측도]]