조르당 곡선 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Jordan curve theorem.svg|섬네일|220px|조르당 곡선 정리의 그림 예시. 조르당 곡선(그림의 검은색)은 평면을 "내부" 영역(밝은 파랑)과 "외부" 영역(분홍색)의 두 부분으로 분리한다.]]
[[위상수학]]에서 '''조르당 곡선 정리'''(Jordan曲線定理, {{llang|en|Jordan curve theorem}})는 [[평면]] 위에 있는 단순 닫힌 [[곡선]]이 평면을 안과 밖 두 개의 영역으로 분할한다는 정리이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 '''단순 닫힌 곡선'''은 [[연속 함수|연속]] [[단사 함수]] <math>\mathbb S^1\to X</math>의 [[상 (수학)|상]]이다.

<math>C\subset\mathbb R^2</math>가 단순 닫힌 곡선이라고 하자. '''조르당 곡선 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>\mathbb R^2\setminus C</math>는 두 개의 [[연결 성분]] <math>A_1,A_2\subset\mathbb R^2</math>을 갖는다.
* 두 연결 성분 가운데 하나는 [[유계 집합]]이며, 다른 하나는 [[유계 집합]]이 아니다. 유계 집합인 것을 <math>A_1</math>, 유계 집합이 아닌 것을 <math>A_2</math>라고 하자.
* 두 연결 성분의 (<math>\mathbb R^2</math>에서의) [[경계 (위상수학)|경계]]는 <math>C</math>이다. 즉, <math>\partial A_1=\partial A_2=C</math>이다.

또한, 다음과 같은 '''조르당-쇤플리스 정리'''({{llang|en|Jordan–Schoenflies theorem}})가 성립한다.
* <math>A_1</math>은 열린 원판 <math>\mathbb B^2</math>과 [[위상 동형]]이며, <math>A_2</math>는 닫힌 원판의 [[여집합]] <math>\mathbb R^2\setminus\bar{\mathbb B}^2</math>과 [[위상 동형]]이다.

== 일반화 ==
고차원에서는 다음과 같은 '''조르당-브라우어르 정리'''({{llang|en|Jordan–Brouwer theorem}})가 성립한다.

<math>n</math>차원 [[초구]]에서 같은 차원의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>로 가는 [[연속 함수|연속]] [[단사 함수]]
:<math>f\colon\mathbb S^n\to\mathbb R^n</math>
가 주어졌다고 하자. '''조르당-브라우어르 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>\mathbb R^n\setminus f(\mathbb S^n)</math>은 두 개의 [[연결 성분]] <math>A_1,A_2\subset\mathbb R^2</math>을 갖는다.
* 두 연결 성분 가운데 하나는 [[유계 집합]]이며, 다른 하나는 [[유계 집합]]이 아니다.
* 두 연결 성분의 (<math>\mathbb R^n</math>에서의) [[경계 (위상수학)|경계]]는 <math>C</math>이다. 즉, <math>\partial A_1=\partial A_2=C</math>이다.

그러나 고차원에서는 조르당-쇤플리스 정리가 성립하지 않으며, [[알렉산더의 뿔 달린 구]]와 같은 반례가 존재한다. 이 경우, 알렉산더의 뿔 달린 구의 내부는 3차원 공과 [[위상 동형]]이지만, 외부는 3차원 공의 여집합과 [[위상 동형]]이 아니다.

== 역사 ==
조르당 곡선 정리는 직관적으로 당연해 보이지만, 매끄러운 곡선이나 연속 미분 가능 곡선 따위가 아닌, [[코크 곡선]]과 같은 임의의 연속 곡선에 대하여 증명하는 것은 [[대수적 위상수학]]의 도움 없이는 매우 어렵다. 또한, 마찬가지로 당연한 것처럼 생각되는 조르당-쇤플리스 정리는 고차원에서는 직관과 달리 성립하지 않는다.

첫 증명은 1887년 [[카미유 조르당]]이 교과서 《[[에콜 폴리테크니크]] 해석학 교재》({{llang|fr|Cours d’analyse de l’École Polytechnique}}) 3권에 수록하였다.<ref>{{서적 인용|장=39–45. Courbes continues|장url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/jordan.pdf|제목=Cours d’analyse de l’Ecole polytechnique. Tome troisième: Calcul intégral, équations différentielles|이름=Camille|성=Jordan|저자링크=카미유 조르당|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|출판사=Gauthiers-Villars|날짜=1887|쪽=587–594|언어=fr}}</ref>

1905년 [[오즈월드 베블런]]은 조르당의 증명이 완전하지 못하다고 지적하면서 완전히 엄밀한 증명을 발표하였다.

: His proof, however, is unsatisfactory to many mathematicians. It assumes the theorem without proof in the important special case of a simple polygon, and of the argument from that point on, one must admit at least that all details are not given.<ref>{{저널 인용 | last1=Veblen | first1=Oswald | author1-link=오즈월드 베블런 | title=Theory on plane curves in non-metrical analysis situs | jstor=1986378 | year=1905 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | volume=6 | issue=1 | pages=83–98 | mr=1500697 | doi=10.2307/1986378|언어=en}}</ref>

한편 [[토머스 캘리스터 헤일스]]는 조르당이 빠뜨렸다고 하는 다각형에 대한 증명은 간단한 것이므로 전체 증명을 부정할만한 오류가 아니라고 주장했다.

: Nearly every modern citation that I have found agrees that the first correct proof is due to Veblen... In view of the heavy criticism of Jordan’s proof, I was surprised when I sat down to read his proof to find nothing objectionable about it. Since then, I have contacted a number of the authors who have criticized Jordan, and each case the author has admitted to having no direct knowledge of an error in Jordan’s proof.<ref>{{인용| last1=Hales | first1=Thomas | author1-link=토머스 캘리스터 헤일스 | title=Jordan's proof of the Jordan Curve theorem | url=http://mizar.org/trybulec65/4.pdf | year=2007 | journal=Studies in Logic, Grammar and Rhetoric | volume=10 | issue=23}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Jordan theorem}}
* {{매스월드|id=JordanCurveTheorem|title=Jordan curve theorem}}
* {{매스월드|id=JordanCurve|title=Jordan curve}}
* {{매스월드|id=SchoenfliesTheorem|title=Schoenflies theorem}}
* {{매스월드|id=MazursTheorem|title=Mazur's theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상수학]]
[[분류:위상수학 정리]]