제2 가산 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''제2 가산 공간'''(第二可算空間, {{llang|en|second-countable space}})은 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}}) <math>\operatorname{wt}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]들의 [[집합의 크기]] 가운데 최소인 [[기수 (수학)|기수]]이다. (기수의 [[전순서]]는 [[정렬 전순서]]이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''제2 가산 공간'''이라고 한다.
* <math>\operatorname{wt}(X)\le\aleph_0</math>
* <math>X</math>는 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.
* <math>X</math> 위의 임의의  [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\mathcal B'\subset\mathcal B</math>이며 기저를 이루는 [[가산 집합]] <math>\mathcal B'</math>이 존재한다.

== 성질 ==
모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[제1 가산 공간]]이다.
* [[분해 가능 공간]]이다.
* [[린델뢰프 공간]]이다.
{{증명}}
<math>X</math>가 제2 가산 공간이며, <math>\mathcal B</math>가 <math>X</math> 위의 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]]라고 하자.

<math>X</math>는 제1 가산 공간. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}</math>는 <math>x</math> 위의 [[가산 집합|가산]] [[국소 기저]]를 이룬다.

<math>X</math>는 분해 가능 공간. 임의의 <math>B\in\mathcal B</math>에서 한 점 <math>x_B\in B</math>를 골랐을 때, <math>\{x_B\colon B\in\mathcal B\}</math>는 <math>X</math>의 [[가산 집합|가산]] [[조밀 집합]]이다.

<math>X</math>는 린델뢰프 공간. <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. 이제,
:<math>\mathcal S=\{B\in\mathcal B\colon\exists U\in\mathcal U\colon B\subseteq U\}</math>
라고 하고, 임의의 <math>B\in\mathcal S</math>에 대하여
:<math>B\subseteq U_B</math>
인 <math>U_B\in\mathcal U</math>를 고르자. 이제, <math>\{U_B\colon B\in\mathcal S\}</math>가 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]임을 보이면 족하다. 임의의 <math>x\in X</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal U</math>가 덮개이므로,
:<math>x\in U</math>
인 <math>U\in\mathcal U</math>가 존재하며,
:<math>x\in B\subseteq U</math>
인 기저의 원소 <math>B\in\mathcal B</math>가 존재한다. 따라서 사실 <math>B\in\mathcal S</math>이며, 결국
:<math>x\in U_B</math>
이다.
{{증명 끝}}

[[거리화 가능 공간]] <math>M</math>에 대하여, 다음 성질들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>M</math>은 제2 가산 공간이다.
* <math>M</math>은 [[분해 가능 공간]]이다.
* <math>M</math>은 [[린델뢰프 공간]]이다.

'''[[우리손 거리화 정리]]'''에 따르면, 모든 제2 가산 [[정칙 공간]]은 [[유사 거리화 가능 공간]]이며, 모든 제2 가산 [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]은 [[거리화 가능 공간]]이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
==== 부분 공간 ====
임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 기저 <math>\mathcal B</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}</math>는 <math>Y</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>\operatorname{wt}(Y)\le\operatorname{wt}(X)</math>
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

==== 몫공간 ====
제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 <Math>X</math> 및 [[열린집합]] <math>U</math>에 대하여, 동치 관계
:<math>x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y</math>
를 주었을 때, [[몫공간]] <math>X/\sim=X/U</math>은 역시 제2 가산 공간이다.

==== 곱공간 ====
임의의 [[곱공간]]
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
및 각 <math>X_i</math> 위의 기저 <math>\mathcal B_i\subseteq\mathcal P(X_i)</math>에 대하여,
:<math>\left\{\prod_{i\in I}B_i
\colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}</math>
는 <math>X</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>\operatorname{wt}(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0}
\prod_{i\in J}\operatorname{wt}(X_i)\le
\max\left(\{\operatorname{wt}(X_i)\colon i\in I\}\cup\{|I|,\aleph_0\}\right)
</math>
이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제2 가산 공간이며, 임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\kappa</math>개 이하의, 무게가 <math>\kappa</math> 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 <math>\kappa</math> 이하이다.

==== 분리합집합 ====
위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[분리합집합]]
:<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math>
의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.
:<math>\operatorname{wt}(X)=\sum_{i\in I}\operatorname{wt}(X_i)</math>
따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[분리합집합]]은 제2 가산 공간이다. 그러나 [[비가산]] 개의 위상 공간들의 [[분리합집합]]은 (위상 공간들이 [[공집합]]이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

=== 크기 관련 성질 ===
제2 가산 공간의 [[열린집합]]의 수는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 가산 부분 기저를 갖는다.
{{증명}}
제2 가산 공간 <math>X</math> 위의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>에 대하여, <math>\mathcal B'\subset\mathcal B</math>인 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B'</math>을 찾으면 족하다. 제2 가산성에 의하여, <math>X</math> 위에는 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal D</math>가 존재한다.  <math>\mathcal B</math>가 기저이므로, 임의의 <math>D\in\mathcal D</math>에 대하여,
:<math>D=\bigcup_{B\in\mathcal B_D}B</math>
인 <math>\mathcal B_D\subset\mathcal B</math>가 존재한다. <math>D</math>는 <math>X</math>의 부분 집합이므로 제2 가산 공간이며, 특히 [[린델뢰프 공간]]이다. 따라서,
:<math>D=\bigcup_{B\in\mathcal B_D'}B</math>
인 [[가산 집합]] <math>\mathcal B_D'\subset\mathcal B_D</math>가 존재한다. 이제,
:<math>\mathcal B'=\bigcup_{D\in\mathcal D}\mathcal B_D'\subset\mathcal B</math>
는 <math>X</math> 위의 기저임을 쉽게 알 수 있다. 또한, <math>\mathcal D</math>와 모든 <math>\mathcal B_D'</math>가 [[가산 집합]]이므로 <math>\mathcal B'</math>는 [[가산 집합]]이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>
* 힐베르트 차원이 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[힐베르트 공간]]
* [[가산 집합|가산]] 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[다양체]] (다양체 = [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 유클리드 공간]])

=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]]의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 모든 가능한 [[한원소 집합]]들로 구성된다. 따라서, [[이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 그 [[집합의 크기]]와 같다.
:<math>\operatorname{wt}(X)=|X|</math>
특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 [[가산 집합]]인 것과 [[동치]]이다.

=== 비이산 공간 ===
[[비이산 공간]] <math>X</math>의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 ([[공집합]]이 아닐 경우) <math>\{X\}</math>이다. 따라서, [[비이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{wt}(X)=\min\{1,|X|\}</math>
특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

=== 제2 가산 공간이 아닌 제1 가산 공간 ===
[[긴 직선]]은 [[T4 공간|T<sub>4</sub>]] [[제1 가산 공간]]이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

=== 제1 가산 공간이 아닌, 제2 가산 공간의 몫공간 ===
위상 공간
:<math>X=[0,1]\cup[2,3]\cup[4,5]\cup\cdots</math>
의 [[몫공간]]
:<math>X'=\frac{X}{\{0,2,4,\dots\}}</math>
을 생각하자. <math>X</math>는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 <math>X'</math>은 <math>\{0,2,4,\dots\}</math>에서 [[제1 가산 공간|국소 지표]]
:<math>\chi(X',\{0,2,4,\dots\})=2^{\aleph_0}</math>
를 가지며, 따라서 [[제1 가산 공간]]도, 제2 가산 공간도 아니다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr. | 성2= Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Second axiom of countability}}
* {{매스월드|id=SecondCountableTopology|title=Second countable topology}}
* {{nlab|id=second-countable space|title=Second-countable space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Second-countable_space|제목=Second-countable space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Second-Countable_Space|제목=Definition: second-countable space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:일반위상수학]]