제1 가산 공간 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''제1 가산 공간'''(第一可算空間, {{llang|en|first-countable space}})은 모든 점이 가산 [[국소 기저]]를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 제1 가산 공간에서는 일반적으로 [[그물 (수학)|그물]] 또는 [[필터 (수학)|필터]]를 사용하여 정의되는 조건들이 [[점렬]]을 사용한 조건들과 [[동치]]가 된다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 '''[[국소 기저]]''' <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>는 다음 두 성질들을 만족시키는 [[집합족]]이다.
* <math>\mathcal B</math>의 모든 원소는 <math>x</math>의 [[근방]]이다.
* <math>x</math>의 임의의 [[근방]] <math>N\ni x</math>에 대하여, <math>N\supseteq N'\ni x</math>인 <math>N'\in\mathcal B</math>가 존재한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>에서의 '''국소 지표'''(局所指標, {{llang|en|local character}}) <math>\chi(x,X)</math>는 <math>x</math>에서의 [[국소 기저]]의 최소 [[집합의 크기|크기]]인 [[기수 (수학)|기수]]이다. ([[기수 (수학)|기수]]의 순서는 [[정렬 순서]]이므로 이는 항상 존재한다.) [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''지표'''(指標, {{llang|en|character}}) <math>\chi(X)</math>는 국소 지표들의 [[상한]]이다.
:<math>\chi(X)=\sup_{x\in X}\chi(x,X)</math>

'''제1 가산 공간'''은 지표가 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 즉, 모든 점이 [[가산 집합|가산]] [[국소 기저]]를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[제2 가산 공간]] ∪ [[거리화 가능 공간]] ⊊ 제1 가산 공간 ⊊ [[프레셰-우리손 공간]] ⊊ [[점렬 공간]] ⊊ [[콤팩트 생성 공간]] ∩ [[가산 생성 공간]]

=== 그물과 점렬 ===
제1 가산성을 가정하면, 일반적인 위상 공간에서 [[그물 (수학)|그물]](또는 [[필터 (수학)|필터]])을 사용하여야 하는 정의에서, [[그물 (수학)|그물]] 대신 더 간단한 [[점렬]]을 사용할 수 있다.

일반적인 위상 공간 <math>X</math>에서, 부분 집합 <math>C\subseteq X</math>에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
* <math>C</math>는 [[닫힌집합]]이다.
* <math>C</math> 속의 모든 [[그물 (수학)|그물]]의 [[극한]]은 <math>C</math> 속에 있다.
만약 <math>X</math>가 제1 가산 공간이라면, 가산 [[국소 기저]]의 존재로 인하여 다음 세 번째 조건이 추가로 [[동치]]이다.
* <math>C</math> 속의 모든 [[점렬]]의 [[극한]]은 <math>C</math> 속에 있다.

일반적인 두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* <math>X</math> 속의 모든 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_\alpha)_{\alpha\in I}</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\lim_{\alpha\in I}x_\alpha=x\in X</math>가 존재한다면 <math>\textstyle\lim_{\alpha\in I}f(x_\alpha)=f(x)\in Y</math>이다.
만약 [[정의역]] <math>X</math>가 제1 가산 공간이라면, 다음 세 번째 조건이 추가로 [[동치]]이다.
* <math>X</math> 속의 모든 [[점렬]] <math>(x_i)_{i=0}^\infty</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}x_i=x\in X</math>가 존재한다면 <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}f(x_i)=f(x)\in Y</math>이다.

제1 가산 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[가산 콤팩트 공간]]이다.
* [[점렬 콤팩트 공간]]이다.
그러나 [[콤팩트 공간]]이 아닌 제1 가산 [[점렬 콤팩트 공간]]이 존재한다.

=== 제1 가산성을 보존하는 연산 ===
* 모든 제1 가산 공간의 부분 공간은 제1 가산 공간이다.
* 임의의 개수의 제1 가산 공간들의 [[분리합집합]]은 제1 가산 공간이다.
* 가산 개의 제1 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제1 가산 공간이다.
그러나 [[비가산]] 개의 제1 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제1 가산 공간이 아닐 수 있다. 또한, 제1 가산 공간의 연속적 [[상 (수학)|상]]은 제1 가산 공간이 아닐 수 있다.

=== 크기 관련 성질 ===
제1 가산성은 국소적인 조건이므로, 제1 가산 공간의 [[집합의 크기]]는 임의로 클 수 있다.

제1 가산 공간 <math>X</math>의 경우, 자명하게 [[집합의 크기]]가 <math>|X|\cdot\chi(X)</math> 이하인 [[기저 (위상수학)|기저]]를 찾을 수 있다. 즉,
:<math>\chi(X)\le d(X)\le|X|\chi(X)</math>
이다. (<math>d(X)</math>는 <math>X</math>의 [[밀도 (위상 공간)|밀도]]이다.) 따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간의 경우 제1 가산 공간과 [[제2 가산 공간]] 조건이 서로 [[동치]]이다. (가산 무한 개의 점을 갖는, 제1 가산 공간이 아닌 위상 공간이 존재한다. 물론, 모든 유한 위상 공간은 제1·제2 가산 공간이다.)

[[콤팩트 공간]] <math>X</math> 및 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 모든 <math>x\in X</math>에서 <math>\chi(x,X)\ge\kappa</math>라고 하자. '''체흐-포스피실 정리'''({{llang|en|Čech–Pospíšil theorem}})에 따르면, 항상
:<math>2^\kappa\le|X|</math>
이다.

== 예 ==
수학에서 흔히 사용되는 거의 모든 위상 공간은 제1 가산 공간이다.

=== 제1 가산 공간이 아닌 점렬 공간 ===
가산 무한 개의 원들의 [[쐐기합]] <math>\mathbb R/\mathbb N=\{\{r\}\in\mathbb R\setminus\mathbb N\}\cup\{\mathbb N\}</math> (즉, 실수 집합에서, 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 [[몫공간]])은 [[점렬 공간]]이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 <math>\mathbb N\in\mathbb R/\mathbb N</math>은 가산 [[국소 기저]]를 갖지 않기 때문이다.

=== 순서수 ===
[[순서수]] <math>\omega_1+1</math>은 ([[순서 위상]]을 부여할 때) 제1 가산 공간이 아니다. 점 <math>\omega_1\in\omega_1+1</math>은 가산 [[국소 기저]]를 갖지 않는다. <math>\omega_1+1</math>은 제1 가산 공간이 아닌 가장 작은 순서수이다.

순서수 <math>\omega_1</math>은 제1 가산 공간이며, [[점렬 콤팩트 공간]]이다. 그러나 이는 [[콤팩트 공간]]이 아니다.

=== 이산 공간과 비이산 공간 ===
<math>X</math>가 [[이산 공간]] 또는 [[비이산 공간]]이라고 하자. 그 국소 지표 및 지표는 다음과 같다.
:<math>\chi(X)=\chi(x,X)=\min\{|X|,1\}\qquad\forall x\in X</math>
특히, 모든 [[이산 공간]] 및 [[비이산 공간]]은 제1 가산 공간이다. 모든 [[비이산 공간]]과 모든 [[가산 집합|가산]] [[이산 공간]]은 또한 [[제2 가산 공간]]이다. 그러나 [[비가산]] [[이산 공간]]은 제1 가산 공간이지만 [[제2 가산 공간]]이 아니다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=First axiom of countability}}
* {{매스월드|id=First-CountableSpace|title=First-countable space}}
* {{nlab|id=first-countable space|title=First-countable space}}
* {{웹 인용|url=https://www.proofwiki.org/wiki/Metric_Space_is_First-Countable|제목=Metric space is first-countable|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-01-08|archive-date=2013-11-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20131106104603/http://www.proofwiki.org/wiki/Metric_Space_is_First-Countable|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:First-Countable_Space|제목=First-countable space|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-01-08|archive-date=2013-11-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20131106104528/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:First-Countable_Space|url-status=}}
* {{웹 인용|url=http://boolesrings.org/mpawliuk/2013/04/18/a-survey-of-cardinal-invariants-of-topological-groups/|제목=A survey of cardinal invariants of topological groups|날짜=2013-04-18|이름=Micheal|성=Pawliuk|언어=en|확인날짜=2015-12-01|보존url=https://web.archive.org/web/20151208235334/http://boolesrings.org/mpawliuk/2013/04/18/a-survey-of-cardinal-invariants-of-topological-groups/|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[제2 가산 공간]]
* [[분해 가능 공간]]
* [[점렬 공간]]

[[분류:위상 공간의 성질]]