제트 (수학) 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''제트'''({{llang|en|jet}})는 어떤 [[매끄러운 함수]] 또는 [[단면 (올다발)|단면]]의 [[테일러 급수]]를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 '''제트 다발'''({{llang|en|jet bundle}})이라는 [[올다발]]의 [[단면 (올다발)|단면]]을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[올다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. 또한, <math>E</math>의 올 역시 <math>k</math>차원의 [[매끄러운 다양체]]라고 하자.

점 <math>x\in M</math>의 [[근방]]에 정의되는, <math>E</math>의 매끄러운 단면의 공간을 <math>\Gamma_x(E)</math>라고 표기하자.

=== 제트 ===
<math>E</math>의 두 매끄러운 국소 단면 <math>s,t\in\Gamma_x(E)</math>이 <math>x\in M</math>에서 같은 '''<math>r</math>차 제트'''({{llang|en|<math>r</math>th jet}})를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.
:임의의 <math>M</math>의 국소 좌표계 및 <math>E</math>의 국소 자명화 및 [[다중지표]] <math>\alpha\in\mathbb N^n</math>에 대하여, 만약 <math>|\alpha|\le r</math>이라면 <math>\partial^\alpha s|_x=\partial^\alpha t|_x</math>
즉, <math>x\in M</math>에서의 <math>r</math>차 제트는 위 [[동치 관계]]에 대한 [[동치류]]이다. 매끄러운 국소 단면 <math>s\in\Gamma_x(E)</math>의 <math>x\in M</math>에서의 <math>r</math>차 제트를 <math>j^r_xs</math>로 표기한다.

=== 제트 공간 ===
임의의 <math>x\in M</math>에 대하여, <math>r</math>차 제트들의 집합 <math>J^r_xE</math>에는 다음과 같이
:<math>\dim J^r_xE=k\sum_{i=0}^r\binom{i+n-1}i
=k\binom{r+n}r
</math>
차원의 [[매끄러운 다양체]]의 구조를 줄 수 있다. <math>M</math>의 <math>\pi(e)\in M</math>에서의 국소 좌표계 <math>(x^1,\dots,x^n)</math> 및 이를 확장하는 <math>E</math>의 <math>e\in E</math>에서의 국소 좌표계 <math>(x^1,\dots,x^n,e^1,\dots,e^k)</math>가 주어졌다면,
:<math>(\partial^\alpha e^i)_{\alpha\in\mathbb N^n,\;|\alpha|\le r,\;i\in\{1,\dots,k\}}</math>
는 <math>J^r_xE</math>의 국소 좌표계를 정의한다. <math>J^r_xE</math>를 <math>E</math>의 '''<math>r</math>차 제트 공간'''(<math>r</math>次jet空間, {{llang|en|<math>r</math>th jet space}})이라고 한다.

<math>r</math>차 제트 공간에서 <math>s<r</math>차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.
:<math>J^r_xE\to J^s_xE</math>
그러나 <math>s</math>차 제트 공간에서 <math>r>s</math>차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

=== 제트 다발 ===
<math>M</math> 위에, <math>r</math>차 제트 공간 <math>J^r_xE</math>을 올로 하는 자연스러운 [[올다발]]을 정의할 수 있다. 이를 <math>r</math>차 '''제트 다발''' <math>J^rE\twoheadrightarrow M</math>이라고 한다. 즉, 제트 다발 <math>J^rE</math>의 전체 공간은 <math>\textstyle n+k\binom{r+n}r</math>차원이다.

자연스러운 사영 <math>J^rE\twoheadrightarrow E</math>이 존재하므로, 이는 <math>E</math> 위의 [[올다발]]로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상
:<math>j^r\colon \Gamma_x(E)\to \Gamma_x(J^rE)</math>
:<math>j^r\colon s\mapsto j^rs\qquad\forall s\in\Gamma_x(E)</math>
이 존재한다. <math>j^rs</math>를 <math>s</math>의 '''<math>r</math>차 제트 연장'''(<math>r</math>次jet延長, {{llang|en|<math>r</math>th jet prolongation}})이라고 한다.

제트 연장 사상은 일반적으로 [[전사 함수]]가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

=== 무한 제트 다발 ===
제트 다발 사이에는 사영 사상
:<math>J^rE\to J^sE\qquad(s<r)</math>
이 존재한다. 이에 대한 [[역극한]]
:<math>J^\infty E=\varprojlim_rJ^rE</math>
을 '''무한 제트 다발'''({{llang|en|infinite jet bundle}})이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 [[매끄러운 다양체]]가 아니지만, 자연스럽게 [[미분학적 공간]]({{llang|en|diffeological space}})의 구조를 줄 수 있다.

=== 편미분 방정식 ===
[[매끄러운 다양체]] 위의 [[편미분 방정식]]의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 <math>M</math> 위의, 올다발 <math>E</math>의 단면에 대한 '''<math>r</math>차 [[편미분 방정식]]'''은 <math>r</math>차 제트 다발 <math>J^rE</math>의 매끄럽게 [[매장 (수학)|매장]]된 부분 다양체 <math>P\hookrightarrow J^rE</math>이다. 편미분 방정식 <math>P</math>의 '''해'''(解, {{llang|en|solution}})는 제트 연장 <math>j^rs\colon M\to J^rE</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>j^rs(M)</math>이 <math>P</math>에 속하는, <math>E</math>의 매끄러운 [[단면 (올다발)|단면]] <math>s\in\Gamma(E)</math>이다.
:<math>\operatorname{Sol}(P)=\{s\in\Gamma(E)\colon j^rs(M)\subseteq P\}</math>

=== 변분 이중 복합체 ===
무한 제트 다발 <math>J^\infty E</math>은 [[미분학적 공간]]({{llang|en|diffeological space}})의 구조를 가지므로, 그 위에 [[미분 형식]]을 정의할 수 있다. <math>J^\infty E</math> 위의 미분 형식 공간 <math>\Omega^nJ^\infty E</math>에서, 차수 <math>n=h+v</math>은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
* <math>X</math> 방향의 차수 <math>h</math>. 이를 '''수평 차수'''({{llang|en|horizontal degree}})라고 한다.
* 무한 제트 다발의 올 <math>J^\infty_eE</math> 방향의 차수 <math>v</math>. 이를 '''수직 차수'''({{llang|en|vertical degree}})라고 한다.
따라서,
:<math>\Omega^nE=\bigoplus_{h+v=n}\Omega^{h,v}J^\infty E</math>
가 된다. 이를 <math>E\twoheadrightarrow M</math>의 '''변분 이중 복합체'''(變分二重複合體, {{llang|en|variational bicomplex}})라고 한다. 또한, 미분 형식의 [[외미분]] <math>\mathbf d</math> 역시 수평 방향 <math>d</math>와 수직 방향 <math>\delta</math>로 분해할 수 있다.
:<math>\mathbf d=d+\delta</math>
:<math>d\colon\Omega^{h,v}J^\infty E\to\Omega^{h+1,v}J^\infty E</math>
:<math>\delta\colon\Omega^{h,v}J^\infty E\to\Omega^{h,v+1}J^\infty E</math>
이 구조는 [[변분법]]에서 핵심적인 역할을 한다.

예를 들어, <math>n</math>차원 시공간 <math>M</math> 위의 [[라그랑주 역학|라그랑주]] 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 <math>E\twoheadrightarrow M</math>의 단면 <math>\phi\in\Gamma(E)</math>이 되고, [[라그랑지언 밀도]]는 [[미분 형식]] <math>\mathcal L(j^\infty\phi)\in\Omega^{n,0}J^\infty E</math>이다. 이를 시공간 위에 적분하면 [[작용 (물리학)|작용]]
:<math>S=\int_M\mathcal L(j^\infty\phi)</math>
을 얻으며, [[오일러-라그랑주 방정식]]은
:<math>\delta L\in\operatorname{im}d</math>
:<math>d\colon\Omega^{n,1}J^\infty E\to\Omega^{n,1}J^\infty E</math>
가 된다.

== 성질 ==
올다발 <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 '''오일러-라그랑주 복합체'''({{llang|en|Euler–Lagrange complex}})를 정의할 수 있다.
:<math>0\to\mathbb R\to\Omega^{0,0}\xrightarrow d\Omega^{1,0}\xrightarrow d\Omega^{2,0}\xrightarrow d\cdots\xrightarrow d\Omega^{n,0}\to\mathcal F^1(J^\infty E)\xrightarrow\delta F^2(J^\infty E)\to\cdots</math>
여기서
:<math>\mathcal F^v(E)=\Omega^{n,v}/d(\Omega^{n-1,s})</math>
는 <math>\Omega^{\bullet,\bullet}</math>을 0번째 쪽으로 하는 [[스펙트럼 열]]의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계
:<math>\mathcal F^v(E)\hookrightarrow \Omega^{n,v}</math>
가 존재한다.

오일러-라그랑주 복합체는 [[공사슬 복합체]]를 이루며, 그 [[코호몰로지]]는 올다발의 전체 공간 <math>E</math>의 [[드람 코호몰로지]]와 동형이다.

== 예 ==
=== 0차 제트 ===
임의의 올다발
:<math>E\twoheadrightarrow M</math>
의 0차 제트 다발은 <math>E</math>이다.
:<math>J^0E=E</math>
즉, 0차 제트 연장은 [[항등 함수]]이다.
:<math>j^0s=s\qquad\forall s\in\Gamma(E)</math>

=== 자명한 올다발의 1차 제트 ===
자명한 올다발
:<math>E=M\times N\twoheadrightarrow M</math>
의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 [[매끄러운 함수]]와 같다.
:<math>\Gamma(E)=\mathcal C^\infty(M;N)</math>
매끄러운 함수 <math>f\colon M\to N</math>의 1차 제트는 함수의 미분이다.
:<math>j^1_xf=Df(x)\in T^*_xM\otimes T_{f(x)}N</math>
여기서 <math>T^*M</math> 및 <math>TN</math>은 각각 [[공변접다발]]과 [[접다발]]이다.

따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은
:<math>J^1E=\operatorname{pr}_M^*T^*M\otimes\operatorname{pr}_NTN</math>
이다. 여기서
:<math>\operatorname{pr}_M\colon M\times N\twoheadrightarrow M</math>
:<math>\operatorname{pr}_N\colon M\times N\twoheadrightarrow N</math>
는 [[곱공간]]의 자연스러운 사영 사상이며, <math>\operatorname{pr}_M^*</math>은 이러한 사영 사상에 대한 [[벡터 다발]]의 [[당김]]이다.

특히, <math>M=\mathbb R^n</math>일 경우
:<math>J^1E=\mathbb R^n\times(TN)^{\otimes n}</math>
이며, 반대로 <math>N=\mathbb R^k</math>일 경우
:<math>J^1E=(T^*M)^{\otimes k}\times\mathbb R^k</math>
이다. 후자에서 <math>k=1</math>인 경우는 자연스럽게 [[접촉다양체]]를 이룬다. 구체적으로, <math>T^*M\times\mathbb R</math>의 국소 좌표계 <math>(x^i,p_i,t)</math>를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.
:<math>dt+\sum_ip_idx^i</math>

=== 일반적 올다발의 1차 제트 ===
올과 밑공간이 [[매끄러운 다양체]]인 [[올다발]]
:<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>
:<math>\dim M=n</math>
:<math>\dim E=n+k</math>
을 생각하자. 이 경우, [[올다발]]의 [[접다발]] <math>TE</math>의 자연스러운 부분 다발인 '''수직 다발'''({{llang|en|vertical bundle}}) <math>VE</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>V_eE=T_eE_{\pi(e)}</math>
즉, 올다발 <math>E</math>의 수직 다발 <math>VE</math>의 올 <math>V_eE</math>는 <math>E</math>의 올의 [[접공간]]이다.
<math>VE</math>는 <math>E</math> 위의 <math>k</math>차원 [[벡터 다발]]을 이룬다.

그렇다면, <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 1차 제트 다발은 (<math>E</math> 위의 [[올다발]]로서) 다음과 같다.
:<math>J^1E=VE\otimes_E \pi^*T^*M</math>
:<math>\dim J^1E=nk+k+n</math>
<math>J^1E\twoheadrightarrow E</math>의 [[단면 (올다발)|단면]] <math>\theta</math>는 (<math>\pi^*T^*M\subset T^*E</math>이므로) <math>E</math> 위의 <math>VE</math>값의 [[1차 미분 형식]]을 정의한다. 또한, <math>\theta</math>를 [[다발 사상]] <math>TE\to VE\subset TE</math>로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) [[사영작용소]]를 이룰 경우, 그 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker \theta\subset TE</math>는 <math>E</math> 위의 [[에레스만 접속]]을 이룬다. 즉,
:<math>TE=\ker\theta\oplus VE</math>
가 되어, <math>\ker\theta</math>를 수평 다발로 여길 수 있다.

=== 피복 공간의 제트 ===
<math>n\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}</math>겹 [[피복 공간]]
:<math>E\twoheadrightarrow M</math>
은 올이 <math>n</math>개의 점의 [[이산 공간]]인 [[올다발]]이다. 이 경우, <math>E\twoheadrightarrow M</math>의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 [[국소 상수 함수]]가 되므로 임의의 <math>r</math>에 대하여 <math>r</math>차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,
:<math>E=J^0E=J^1E=J^2E=\cdots</math>
가 된다.

== 역사 ==
제트의 개념은 [[샤를 에레스만]]이 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성= Ehresmann|이름= C. | 저자링크=샤를 에레스만 | 장=Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie | 제목=Géométrie différentielle: Colloque international du Centre national de la recherche scientifique tenu à Strasbourg, 26 mai – 1 juin 1953|출판사=Centre national de la recherche scientifique|날짜=1953|쪽=97-127|oclc=27311357|총서=Colloques internationaux du Centre national de la recherche scientifique|권=52|언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[제트 군]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Gennadi|성=Sardanashvily|제목=Advanced differential geometry for theoreticians: fiber bundles, jet manifolds and Lagrangian theory|출판사=Lambert Academic Publishing|날짜=2013|isbn=978-3-659-37815-7|arxiv=0908.1886|url=http://www.g-sardanashvily.ru/book13.pdf|언어=en|확인날짜=2015-11-18|보존url=https://web.archive.org/web/20151119034142/http://www.g-sardanashvily.ru/book13.pdf|보존날짜=2015-11-19|url-status=dead}}
* {{저널 인용 |이름=Gennadi |성=Sardanashvily| 제목=Five lectures on the jet manifold methods in field theory | arxiv=hep-th/9411089| bibcode=1994hep.th...11089S|날짜=1994|언어=en}}
* {{저널 인용 |이름=Gennadi |성=Sardanashvily| 제목=Ten lectures on jet manifolds in classical and quantum field theory | arxiv=math-ph/0203040 | bibcode=2002math.ph...3040S|날짜=2002|언어=en}}
* {{서적 인용|성1=Kolář|이름1= Ivan|성2=Michor|이름2=Peter W.|성3=Slovák|이름3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/|제목= Natural operations in differential geometry|출판사=Springer|날짜=1993|isbn=978-3-540-56235-1|doi=10.1007/978-3-662-02950-3|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Jet}}
* {{nlab|id=jet bundle|title=Jet bundle}}
* {{nlab|id=jet space|title=Jet space}}
* {{nlab|id=jet prolongation|title=Jet prolongation}}
* {{nlab|id=jet group|title=Jet group}}
* {{nlab|id=jet groupoid|title=Jet groupoid}}
* {{nlab|id=jet comonad|title=Jet comonad}}
* {{nlab|id=arithmetic jet space|title=Arithmetic jet space}}
* {{nlab|id=metric jet|title=Metric jet}}
* {{nlab|id=variational bicomplex|title=Variational bicomplex}}
* {{nlab|id=Euler-Lagrange complex|title=Euler-Lagrange complex}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2013/06/26/jet-bundles-and-flexes/|제목=Jet bundles and flexes|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2013-06-26|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2013/06/27/dual-curves-bitangents-and-jet-bundles/|제목= Dual curves, bitangents, and jet bundles |이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2013-06-27|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/76620/jet-bundles-and-partial-differential-operators|제목=Jet bundles and partial differential operators|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:매끄러운 함수]]
[[분류:특이점 이론]]