제르브 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''제르브'''({{llang|fr|gerbe}})는 [[올다발]]의 개념의 범주화이며, 그 “올”은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 대신 [[준군]]을 이룬다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math> 위의 '''제르브''' <math>\mathcal G\colon \operatorname{Open}(X) \to \mathcal C</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[준군 스택]]이다.
* (국소적 비공범주성 非空範疇性) 임의의 점 <math>x\in X</math>에 대하여, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal G(U)</math>가 하나 이상의 대상을 갖는 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
* (추이성) 임의의 [[열린집합]] <math>U\in\operatorname{Open}(X)</math> 및 임의의 두 대상 <math>a,b\in\mathcal G(U)</math>에 대하여, 다음 조건이 성립하는 어떤 충분히 섬세한 [[열린 덮개]] <math>U = \textstyle\bigcup_{i\in I}U_i</math>가 존재한다.
** 각 <math>i\in I</math>에 대하여, 제한 함자 <math>\operatorname{res}_i \colon \mathcal G(U) \to \mathcal G(U_i)</math> 아래, <math>\hom_{\mathcal G(U_i)}(\operatorname{res}_i(a),\operatorname{res}_i(b))\ne\varnothing</math>이다. 즉, 어떤 사상 <math>f\colon\operatorname{res}_i(a)\to\operatorname{res}_i(b)</math>가 존재한다.

== 예 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>과 [[리 군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math> 위의 <math>G</math>-[[주다발]]들은 제르브 <math>\operatorname{Prin}_G</math>를 이룬다. 즉, [[열린집합]] <math>U\subseteq M</math>에 대하여, <math>\operatorname{Prin}_G(U)</math>는 다음과 같은 [[준군]]이다.
* <math>\operatorname{Prin}_G(U)</math>의 대상은 <math>U</math> 위의 <math>G</math>-[[주다발]]이다.
* <math>\operatorname{Prin}_G(U)</math>의 사상은 <math>U</math> 위의 <math>G</math>-[[주다발]]의 [[동형 사상]]이다.
주다발들은 짜깁기할 수 있으므로, 이는 [[준군 스택]]을 이룬다. 자명한 [[주다발]]이 항상 존재하므로, 국소적 비공범주성이 성립한다. 또한, 모든 [[주다발]]은 국소적으로 자명하므로 (국소적으로 서로 [[동형]]이므로), 추이성 역시 성립한다.

== 역사 ==
장 지로({{llang|fr|Jean Giraud}} {{IPA|[ʒɑ̃ ʒiʁo]}}, 1936〜2007)가 1971년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Giraud|이름=Jean|날짜=1971|제목=Cohomologie non abélienne|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-05307-1|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=179|issn=0072-7830|url=https://www.springer.com/gp/book/9783540053071|mr=344253|언어=fr}}</ref> {{llang|fr|[[:wiktionary:ko:gerbe|gerbe]]|제르브}}는 짚단을 뜻한다. 이는 다발의 범주화 개념이므로, 다발에 빗대어 이렇게 명명되었다.

== 같이 보기 ==
* [[아즈마야 대수]]
* [[뒤틀린 K이론]]
* [[다발 제르브]]
* [[끈 군]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=gerbe|title=Gerbe}}

{{전거 통제}}

[[분류:층론]]