제곱 인수가 없는 정수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수론]]에서 '''제곱 인수가 없는 정수'''(제곱 因數가 없는 整數, {{llang|en|squarefree integer}}, {{llang|de|quadratfrei Zahl}})는 1이 아닌 제곱수를 인수로 갖지 않는 양의 정수다.

== 정의 ==
양의 [[정수]] <math>n</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 양의 정수를 '''제곱 인수가 없는 정수'''라고 한다.
* 임의의 양의 정수 <math>k</math>에 대하여, 만약 <math>k^2\mid n</math>이라면 <math>k=1</math>이다.
* 임의의 양의 정수 <math>a,b\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 만약 <math>ab=n</math>이라면 <math>a</math>와 <math>b</math>는 [[서로소 정수|서로소]]이다. 또한 제곱 인수가 없는 정수의 경우 [[소인수분해]]의 결과는 각 소인수의 지수가 모두 1이며, [[약수]]들도 모두 [[유니타리 약수]]이므로 [[유니타리 약수]]의 개수도 [[약수]]의 개수와 같다.
* <math>\mu(n)\ne0</math>이다. 여기서 <math>\mu</math>는 [[뫼비우스 함수]]이다.
* 크기가 <math>n</math>인 [[아벨 군]]들은 모두 서로 [[동형]]이다.
* <math>\{k\in\mathbb Z^+\colon k\mid n\}</math>은 인수 관계 <math>\mid</math>에 대하여 [[불 대수]]를 이룬다.
* 몫환 <math>\mathbb Z/(n)</math>은 0개 이상의 [[체 (수학)|체]]들의 ([[가환환]]으로서의) [[직접곱]]이다. (0개의 체들의 곱환은 [[자명환]]이다.)
제곱 인수가 없는 정수의 목록은 다음과 같다. 참고로, 제곱 인수가 없는 정수의 각 소인수들은 모두 한 번씩만 곱해지므로, 각 소인수가 곱해진 지수의 합이 소인수의 개수와 같다. 또한 약수들도 모두 유니타리 약수인데, 그 이유는 중복되어 곱해지는 소인수가 없기 때문이다.
:1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113, ... {{OEIS|A5117}}

== 성질 ==
[[중심 이항 계수]]
:<math>\binom{2n}n</math>
은 <math>n>4</math>일 경우 제곱 인수가 없는 정수가 아니다.<ref>{{저널 인용| first=Andrew | last=Granville | 공저자=Olivier Ramaré | title=Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients | mr=1401709 | zbl=0868.11009 |  날짜=1996 | journal=Mathematika | volume=43 | pages=73–107 | doi=10.1112/S0025579300011608 | 언어=en }}</ref>

함수 <math>Q(x)</math>를 제곱 인수가 없는 정수 <math>1\le n\le x</math>의 수로 정의하자.
:<math>Q(x)=\sum_{n=1}^x|\mu(n)|</math>
그렇다면, 어떤 양의 실수 <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|이름=A.|성=Walfisz|제목=Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie|출판사=VEB deutscher Verlag der Wissenschaften|위치=[[베를린]]|날짜=1963|언어=de}}</ref>
:<math>Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{1/2}\exp\left(-c\frac{(\log x)^{3/5}}{(\log\log x)^{1/5}}\right)\right)</math>
만약 [[리만 가설]]이 참이라면, 다음이 성립한다.<ref>{{저널 인용|성=Jia|이름=Chao Hua|제목=The distribution of square-free numbers|저널=Science in China Series A: Mathematics|권=36|호=2|날짜=1993|쪽=154–169|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Pappalardi|이름=Francesco|날짜=2003|url=http://www.mat.uniroma3.it/users/pappa/papers/allahabad2003.pdf|제목=A Survey on ''k''-freeness|언어=en|확인날짜=2015-01-16|보존url=https://web.archive.org/web/20160303180956/http://www.mat.uniroma3.it/users/pappa/papers/allahabad2003.pdf|보존날짜=2016-03-03|url-status=dead}}</ref>
:<math>Q(x) =\frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right)</math>
즉, 제곱 인수가 없는 수의 밀도는
:<math>\lim_{x\to\infty}Q(x)/x=6/\pi^2=0.6079</math>
이다. 다시 말해, 대략 61%의 양의 정수가 제곱 인수가 없는 정수이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Squarefree|title=Squarefree}}
* {{매스월드|id=Squareful|title=Squareful}}

{{약수에 따른 정수의 집합}}

[[분류:수론]]
[[분류:정수열]]