제곱 유군 문서 원본 보기

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[[체론]]에서 '''제곱 유군'''(-類群, {{llang|en|square class group}})은 제곱수의 곱셈에 대한 합동류들로 구성된 [[아벨 군]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 '''제곱 유군'''은 다음과 같은 [[몫군]]이다.
:<math>K^\times/(K^\times)^2</math>
여기서 <math>K^\times=K\setminus\{0\}</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]이다. 즉, 0이 아닌 <math>K</math>의 원소 가운데, 제곱수에 대한 합동류들의 [[아벨 군]]이다. 제곱 유군의 원소를 '''제곱류'''(-類, {{llang|en|square class}})라고 한다.

제곱 유군이 [[자명군]]인 (즉, 모든 원소가 하나 이상의 [[제곱근]]을 갖는) 체를 '''이차 폐체'''(二次閉體, {{llang|en|quadratically closed field}})라고 한다.

== 성질 ==
체 <math>K</math>의 제곱 유군 <math>K^\times/(K^\times)^2</math>은 정의에 따라 [[아벨 군|아벨]] [[p-군|2-군]]이다. 즉, 모든 원소의 (군의 원소로서의) 차수가 2이다. 따라서, 만약 제곱 유군이 [[유한군]]이라면 그 크기는 2의 거듭제곱이다.

== 예 ==
=== 크기 1 ===
[[복소수체]]를 비롯한 모든 [[대수적으로 닫힌 체]]는 이차 폐체이다. 즉, 제곱 유군이 [[자명군]]이다. 짝수 표수의 [[유한체]] 역시 이차 폐체이다.

=== 크기 2 ===
실수체의 제곱 유군은 2차 [[순환군]]이다.
:<math>\mathbb R^\times/(\mathbb R^\times)^2=\{[+1],[-1]\}</math>

홀수 표수의 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>의 제곱 유군은 2차 순환군이다. 예를 들어 다음과 같다.
*  <math>\mathbb F_3</math>의 두 제곱류들은 {1}, {2}이다.
* <math>\mathbb F_5</math>의 두 제곱류들은 {1,4}, {2,3}이다.
* <math>\mathbb F_7</math>의 두 제곱류들은 {1,2,4}, {3,5,6}이다.
* <math>\mathbb F_9=\mathbb F_3[t]/(t^2+1)</math>의 두 제곱류들은 <math>\{1,2\}</math>, <math>\{t,2t\}</math>이다.

=== 크기 4 ===
홀수 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여, [[p진수체|<math>p</math>진수체]] <math>\mathbb Q_p</math>의 제곱 유군의 크기는 4이다. 만약 <math>n</math>이 <math>p</math>-[[제곱잉여]]가 아닌 임의의 [[정수]]라면, 4개의 제곱류들의 대표원은 <math>[1]</math>, <math>[p]</math>, <math>[n]</math>, <math>[np]</math>이다.

=== 크기 8 ===
[[p진수체|2진수체]] <math>\mathbb Q_2</math>의 제곱 유군의 크기는 8이다.

=== 무한 크기 ===
[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>의 제곱 유군은 [[가산 무한 집합]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | title=Introduction to quadratic forms over fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | 저자링크=람짓윈 | publisher=American Mathematical Society | 날짜=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929  | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-67 | 언어=en}}

[[분류:체론]]
[[분류:이차 형식]]