제곱근 2 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''제곱근 2''' 또는 '''루트 2''' 또는 '''2의 양의 제곱근'''은 자기 자신과 [[곱셈|곱]]하여 [[2]]가 되는 [[양수|양]]의 [[실수]]이다. <math>\sqrt{2}</math>로 표기한다.

'''2의 제곱근'''은 자기 자신과 [[곱셈|곱]]하여 [[2]]가 되는 [[실수]]이다. 2의 양의 제곱근과 2의 음의 제곱근이 있으며, <math>\pm\sqrt{2}</math>로 표기한다.

2의 제곱근은 [[기약분수]]로 나타낼 수 없는 [[무리수]]이다. [[기하학]]에서는 [[피타고라스 정리]]에 따라 한변의 길이가 [[1]]인 [[정사각형]]의 대각선의 길이로 나타낼 수 있다. 2의 제곱근에 대한 [[근삿값]]으로는 {{frac|99|70}}이 쓰인다. 이 값은 2의 제곱근 [[참값]]과 사이에 오차가 0.00001 로 매우 정확한 편이다. 실제 2의 제곱근의 값은 순환되지 않는 [[무한 소수]]로 [[소수점]]이하 65자리까지의 근삿값{{OEIS|A002193}}은 다음과 같다.
:1.41421&nbsp;35623&nbsp;73095&nbsp;04880&nbsp;16887&nbsp;24209&nbsp;69807&nbsp;85696&nbsp;71875&nbsp;37694&nbsp;80731&nbsp;76679&nbsp;73799

2의 제곱근이 [[무리수]]라는 사실은 [[고대]] 시기부터 잘 알려져 있었다. [[에우클레이데스]]는 《[[유클리드의 원론|원론]]》에서 2의 제곱근이 무리수라는 사실을 [[귀류법]]을 통하여 증명하였다.

== 역사 ==
[[파일:Ybc7289-bw.jpg|섬네일|150px|left|Ybc7289]]
[[예일대학교]] 소장 목록번호 7289인 [[바빌로니아]] 점토판에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html}}<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref>
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>

또한 [[고대 인도]]의 수학책인 《술바수트라》에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.<ref>Henderson, David W. (2000), [http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html "Square roots in the Śulba Sūtras"], in Gorini, Catherine A., Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, pp. 39–45, {{ISBN|978-0-88385-164-7}}.</ref>
:<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>

[[파일:Square root of 2 triangle.svg|섬네일|left|150px]]
[[직각삼각형]]에서 빗변의 길이를 Z, 다른 변의 길이를 각각 X, Y 라 하면 [[피타고라스 정리]]에 따라
:<math> X^2 + Y^2 = Z^2 </math>
이고, 따라서
:<math> Z = \sqrt{X^2 + Y^2}</math>
가 된다. 이제 왼쪽의 그림과 같이 빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
: <math> Z = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}</math>
[[고대 그리스]]의 [[피타고라스 학파]]인 [[히파소스]]는 이 계산에서 나타나는 2의 제곱근을 [[기약분수]]로 나타낼 수 없다는 사실을 발견하였다.<ref>존 그리빈, 최주연 역, 과학의 역사 1, 에코리브르, 2005년, {{ISBN|89-90048-57-5}}, 46쪽</ref> 그런데 피타고라스 학파에서는 [[자연수]]와 이의 비로 나타낼 수 있는 기약분수, 즉 [[유리수]] 만을 진정한 수로 취급하였기 때문에 [[무리수]]의 존재를 인정하는 것은 금기였다. 히파소스는 무리수의 존재를 세상에 알렸다는 이유로 이단으로 취급받았으며, 일설에 의하면 피타고라스 학파에 의해 죽임을 당하였다고 한다. [[무리수]]라는 이름은 피타고라스 학파의 수에 대한 이러한 가치관이 반영된 것이다.<ref>사이먼 싱, 박명철 역, 페르마의 마지막 정리, 갈릴레오 총서, {{ISBN|89-85055-97-6}}, 77-78쪽</ref><ref group="주해">그러나 [[피타고라스 정리]]를 일반화 하기 위해선 무리수의 도입이 반드시 필요하고 결국 [[헬레니즘]] 시기에 이르러 무리수의 사용은 보편화되었다.</ref>

[[헬레니즘]] 시기 [[알렉산드리아]]의 수학자 [[에우클레이데스]](유클리드)는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.

== 계산 ==
다음의 [[알고리즘]]을 이용하여 2의 제곱근을 계산할 수 있다.
:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n} </math> (단, a<sub>0</sub> > 0 )
위의 식에 a<sub>0</sub> = 1 을 대입하고 알고리즘을 실행하면 다음과 같은 결과가 나온다. 순환의 횟수가 많아 질수록 보다 정확한 근삿값을 계산할 수 있다.
* 3/2 = '''1'''.5
* 17/12 = '''1.41'''6...
* 577/408 = '''1.41421'''5...
* 665857/470832 = '''1.41421356237'''46...

=== 연분수 ===
다음과 같은 [[연분수]]를 사용하여도 2의 제곱근을 계산할 수 있다.
:<math>\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + {}\ddots}}}} </math>

위 연분수는 아래와 같은 방식으로 전개된 것이다.<ref name="주니어">김정은· 조민경· 최연희, 지도교수 이태훈, [http://www.wiset.re.kr/upload/webzine/bulletin_2352.pdf 무리수의 소수표현] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20190106104704/http://www.wiset.re.kr/upload/webzine/bulletin_2352.pdf}}, 《WISE 주니어 과학논문집》 제2권 제3호, 2009년 12월</ref>
:<math>\sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} - 1</math>
::<math> = 1 + (\sqrt{2} - 1) \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = 1 + \frac{2-1}{\sqrt{2} + 1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}</math>
::<math> = 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2} } = 1 + \frac{1}{1+ 1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} } = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} } </math>
::<math> = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\sqrt{2} + 1} }}</math>
::<math> = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + {}\ddots}}}}.</math>

일반적으로 무리수는 순환되는 연분수로 표현될 수 있다.<ref name="주니어" />

== 무리수 증명 ==
=== 에우클레이데스 ===
에우클레이데스(유클리드)는 《[[유클리드 원론|원론]]》에서 [[귀류법]]을 이용하여 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.<ref>The edition of the Greek text of the Elements published by E. F. August in Berlin in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with J. L. Heiberg's edition (1883–1888).</ref> 다음은 에우클레이데스의 증명 과정이다.<ref>Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972). p.33.</ref><ref>사이먼 싱, 박명철 역, 페르마의 마지막 정리, 갈릴레오 총서, {{ISBN|89-85055-97-6}}, 378-381쪽</ref>
# 만약 <math>\sqrt{2}</math>가 [[유리수]]라고 하면, <math>\frac a b = \sqrt{2}</math>를 만족하고 [[서로소 정수|서로소]]인 [[정수]] <math>a</math>와 <math>b</math>가 존재한다.
# 그렇다면 양변을 제곱한 식인 <math>\left( \frac a b \right)^2 = 2</math>가 성립한다.
# 정리하면 <math>a^2 = 2b^2</math>이 되고, 우변이 짝수이므로 좌변도 짝수이고, 따라서 <math>a</math>도 짝수가 된다.
# 그러면 <math>a = 2k</math>인 정수 <math>k</math>가 존재하고, 이 식을 대입하면 <math>(2k)^2 = 2b^2</math>이 된다.
# 정리하면 <math>b^2 = 2k^2</math>이고, 같은 방법으로 <math>b</math>는 짝수여야 한다.
# 3과 5에서 <math>2</math>는 <math>a</math>와 <math>b</math>의 공약수이고, 이것은 처음에 두 수가 서로소라는 조건과 모순된다.
# 따라서 처음의 가정이 잘못되었고, 결국 <math>\sqrt{2}</math>는 '''무리수'''이다.

=== 기하학적 증명 ===
[[파일:Irrationality of sqrt2.svg|right]]
오른쪽의 도형을 이용하여 2의 제곱근이 무리수임을 증명할 수 있다. 이 증명은 [[작도]]의 원칙에 따라 눈금 없는 곧은 자와 컴퍼스만을 이용한다.<ref>Apostol, Tom M. (2000), [http://jstor.org/stable/2695741 "Irrationality of the square root of two – A geometric proof"], American Mathematical Monthly 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741.</ref>

* 오른쪽 그림과 같이 빗변의 길이가 m 이고 다른 변들의 길이가 n 인 직각삼각형ABC 가 있다고 하자. 이 때 <math>\frac{m}{n}</math>은 다음과 같이 계산될 수 있다.
: 먼저 피타고라스 정리에 의해 <math> m = \sqrt{n^2 + n^2} = \sqrt{2 n^2} = n \sqrt{2}</math>
:: 따라서, <math> \frac{m}{n} = \sqrt{2}</math>
* 만약 <math> \sqrt{2}</math> 가 유리수라면 위의 <math>m</math>과 <math>n</math>을 약분하여 기약분수로 나타낼 수 있을 것이다.
* 이제, 점 <math>\rm A</math>를 중심으로 하고 반지름이 각각 <math>m</math>과 <math>n</math>인 호를 그림과 같이 그려 삼각형 <math>\rm{ADE}</math>를 그리면 이 삼각형은 삼각형 <math>\rm{ABC}</math>와 두 변의 길이가 같고 끼인 각이 같으므로 [[합동 (기하학)|합동]]임을 알 수 있다.
* 또한 <math>\angle{\rm{EBF}}</math>가 직각이고 <math>\angle{\rm{BEF}}</math>는 <math>45</math>˚이므로, 삼각형 <math>\rm{BEF}</math> 역시 삼각형 <math>\rm{ABC}</math>와 [[닮음 (기하학)|닮은]] 직각삼각형이고 빗변을 제외한 두 변의 길이가 같다. 같은 이유로 삼각형 <math>\rm{FDC}</math> 역시 삼각형 <math>\rm{ABC}</math>와 닮은 직각삼각형이 된다.
* 이를 바탕으로 각 변의 길이는 BE = m − n, BF = m − n, DF = m − n, FC = n − (m − n) = 2n − m과 같이 정리되고 삼각형 <math>\rm{BEF}</math> 또는 삼각형 <math>\rm{FDC}</math>에서 빗변과 다른 변의 비율 역시 <math>\sqrt{2}</math>가 되므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math> \sqrt{2} = \frac{m}{n} = \frac{2n-m}{m-n} </math>
* 그런데 이렇게 하여 만들어진 삼각형 <math>\rm{BEF}</math>와 <math>\rm{FDC}</math>에서도 위와 같은 방법을 이용하여 더 작은 닮은 직각삼각형의 작도가 가능하므로 위의 식을 한 번 더 전개하면,
:<math> \sqrt{2} = \frac{m}{n} = \frac{2n-m}{m-n} = \frac{2(m-n)-(2n-m)}{(2n-m)-(m-n)} = \frac{3m-4n}{3n-2m} = \cdots</math>
* 이와 같이 <math>\frac{m}{n}</math>은 무한히 더 작은 분수로 나타낼 수 있다. 그런데 이는 최초에 <math>\frac{m}{n}</math>을 더 이상 약분될 수 없는 기약분수로 나타낼 수 있을 것이란 전제와 모순된다. 따라서 <math>\sqrt{2}</math>는 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다.

== 주해 ==
<references group="주해"/>

== 같이 보기 ==
* [[제곱근 3]]
* [[제곱근 5]]
* [[겔폰트-슈나이더 상수]]
* [[은 비율]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{무리수}}

{{전거 통제}}

[[분류:무리수]]
[[분류:대수적 수]]
[[분류:수학 상수]]
[[분류:피타고라스 정리]]