정팔포체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{번역 중|en:Tesseract}}
{{다포체 정보
| 이름 = 정팔포체
| 그림 = Schlegel wireframe 8-cell.png
| 그림설명 = 슈레겔 다이어그램의 모습.
| 종류 = 4차원 볼록 정다포체
| 슐레플리 = {4, 3, 3}<br/>t<sub>0, 3</sub>{4, 3, 2} 또는 {4, 3}×{&nbsp;}<br />t<sub>0, 2</sub>{4, 2, 4} 또는 {4}×{4}<br />t<sub>0, 2, 3</sub>{4, 2, 2} 또는 {4}×{&nbsp;}×{&nbsp;}<br />t<sub>0, 1, 2, 3</sub>{2, 2, 2} 또는 {&nbsp;}×{&nbsp;}×{&nbsp;}×{&nbsp;}
| CD = {{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}<br />{{CDD|node_1|4|node|3|node|2|node_1}}<br />{{CDD|node_1|4|node|2|node_1|4|node}}<br />{{CDD|node_1|4|node|2|node_1|2|node_1}}<br />{{CDD|node_1|2|node_1|2|node_1|2|node_1}}
| 포 = 8개 ([[정육면체|4.4.4]]) [[파일:Hexahedron.png|20px]]
| 면 = 24개 [[정사각형|{4}]]
| 모서리 = 32개
| 꼭짓점 = 16개
| 꼭짓점 그림 = [[파일:8-cell verf.svg|80px]]<br />[[사면체]]
| 페트리 다각형 = [[팔각형]]
| 코섹터 군 = B<sub>4</sub>, [3, 3, 4]
| 대칭 군 = 
| 쌍대 = [[정십육포체]]
| 속성 = 볼록, 점추이, 변추이, 면추이
| 색인 = 10
}}
[[파일:Hypercubecentral.svg|섬네일|4차원 초입방체의 3차원 투영.]]
[[파일:8-cell net.png|섬네일|달리 크로스, 정팔포체의 [[전개도]].]]

'''정팔포체''' 또는 '''4차원 초입방체'''({{llang|en|Tesseract}})는 8개의 정육면체로 이루어진 [[4차원]]의 정다포체이다.

정육면체 철사를 비눗물에 2번 담가서 [[비눗방울]]을 만들 때 일종의 정팔포체의 투영의 형태가 되는 것으로 알려져 있다. (단, 이때 면은 약간 비뚤어진다.)<ref>{{웹 인용|url=http://www2.tokai.or.jp/seed/seed/minnna14.htm|제목=三角四角のしゃぼん玉?|번역제목=삼각 사각의 비눗방울?|언어=일본어|확인날짜=2016-11-21}}</ref>

[[기하학]]적으로 보았을 때 정팔포체는 [[정육면체]]의 4차원 아날로그라고 할 수 있<!-- 으며 정팔포체는 to the cube as the cube is to the [[사각형]]. (※미번역 내용) -->다. 정육면체의 표면이 6개의 정사각형 모양의 [[면 (기하학)|면]]으로 구성되어 있는 것처럼 정팔포체의 초표면(hypersurface)은 8개의 정육면체 모양의 포로 구성되어 있는 것이다. 정팔포체는 6개의 4차원 볼록 정다포체 중 하나이다.

정팔포체의 영어 표기는 일반적으로 '''tesseract'''이며 그 외에도 '''8-cell''', '''C<sub>8</sub>''', '''octachoron''', '''octahedroid'''<ref>마틸라 기카, 《미술과 삶의 기하학》(''The geometry of Art and Life''), 1977년, 68쪽.</ref>, '''cubic prism''', '''tetracube'''<ref group="주">이 tetracube(테트라큐브)라는 용어는 4개의 정육면체로 만들어진 [[폴리큐브]]를 의미하기도 한다.</ref>라고도 불린다. 이것은 '''4차원 초입방체'''({{llang|en|four-dimensional hypercube}}) 또는 초입방체의 차원 계열의 일부인 '''4-정육면체'''({{llang|en|4-cube}}) 또는 "측정 폴리토프"이다.<ref>엠마누엘로드 위크 엘트, 《초공간의 반투명 폴리토프》(''The Semi Regular Polytopes of the Hyperspaces''), 1912년{{쪽|날짜=2016-11-20}}.</ref>

[[옥스포드 영어사전]]({{llang|en|''Oxford English Dictionary''}})에 따르면 [[1888년]] 찰스 하워드 힌톤이 그의 저서 《생각의 새로운 시대》({{llang|en|''A New Era of Thought''}})에서 [[고대 그리스어]]의 τέσσερεις ακτίνες(téssereis aktines, 4개의 광선)에서 단어를 따와 최초로 ''tesseract''라는 단어를 사용했다고 한다(정팔포체가 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점까지 총 4개의 변이 있다는 성질을 이용한 것이다).<ref>{{웹 인용|url=http://www.oed.com/view/Entry/199669?redirectedFrom=tesseract#eid|제목=Oxford English Dictionary|번역제목=옥스포드 영어사전|언어=영어|확인날짜=2016-11-27}}</ref> 그러나 이 간행물과 힌튼의 후기 저작물에서는 이 단어는 간혹 tess'''a'''ract라고 쓰이기도 했다.
__TOC__
{{-}}

== 기하학 ==
[[파일:Tesseract net.svg|섬네일|왼쪽|정팔포체의 전개도]]
정팔포체는 여러 방법으로 만들 수 있다. 정팔포체는 모든 모서리 주위에 함께 접혀진 3개의 [[정육면체]]를 가진 [[정다포체]]로서 그것은 384개의 사면체 대칭을 가진 [[슐레플리 기호]] {4, 3, 3}을 가지고 있다. 두 개의 [[평행]] 정육면체로 구성된 4D 하이프리즘으로 제작되었으며 대칭성 순서 96을 갖는 합성 슐레플리 기호인 {4, 3}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}로 명명될 수 있다. 그리고 대칭성 순서 64를 갖는 4-4 듀오프리즘일 때 2개의 사각형이 [[곱집합]]되며 이것은 합성 슐레플리 기호인 {4}×{4}로 명명될 수 있다. 그리고 대칭성 순서 16을 갖는 하이퍼래탱글로써 그것은 합성 슐레플리 기호인 {&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;} 또는 {&nbsp;}<sup>4</sup>로 명명될 수 있다.

정팔포체의 각 꼭짓점은 4개의 모서리에 인접하므로 정팔포체의 정점도는 [[사면체]]이다. 정팔포체의 이중 폴리토프는 슐레플리 기호 {3,3,4}를 가지고 있는 [[정십육포체]]({{llang|en|hexadecachoron}} 또는 {{lang|en|16-cell}})이다.

[[4차원|유클리드 4 공간]]의 표준인 정팔포체는 점(±1, ±1, ±1, ±1)의 볼록한 선체로 주어진다. 즉 아래와 같은 점으로 구성된다:
: <math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}</math>

정팔포체는 8개의 [[초평면 (수학)|초평면]]으로 제한된다(''x''<sub>i</sub> = ±1). 비평행형 초평면의 각 쌍은 교차하여 정팔포체에서 정사각형 모양의 면 24개를 형성한다. 3개의 정육면체와 3개의 사각형이 각 모서리에서 교차한다. 모든 정점에서 4개의 정육면체, 6개의 정사각형 및 4개의 모서리가 있는 것이다. 모두 8개의 정육면체, 24개의 사각형, 32개의 모서리, 16개의 꼭짓점으로 구성되는 것이다.
{{-}}

=== 2차원 투영 ===
초입방체의 구성은 아래와 같이 생각할 수 있다:
* '''1차원''' : 2개의 점 A와 점 B를 선으로 연결하여 [[선분]] AB를 만든다.
* '''2차원''' : 2개의 평행한 선분 AB와 선분 CD를 연결하여 정사각형 ABCD를 만든다.
* '''3차원''' : 2개의 평행한 정사각형 ABCD와 정사각형 EFGH를 연결하여 정육면체 ABCDEFGH를 만든다.
* '''4차원''' : 2개의 평행한 정육면체 ABCDEFGH와 IJKLMNOP를 연결하여 [[초입방체]] ABCDEFGHIJKLMNOP를 만든다.

[[파일:8-cell.gif|섬네일|왼쪽에서 오른쪽으로, 위에서 아래로 그림을 양분하는 평면에 대해 간단한 회전을 수행하는 정팔포체의 3D 투영법]]
{| class="wikitable"
|[[파일:Dimension levels.svg|섬네일|385x385px|0차원(점)에서 4차원(정팔포체)까지를 만드는 과정을 보여주는 다이어그램]]
|[[파일:From Point to Tesseract (Looped Version).gif|섬네일|168x168px|0차원부터 4차원까지 차원이 바뀌는 과정을 보여주는 애니메이션]]
|}

정육면체를 2차원 투영할 수 있듯이 정팔포체도 2, 3차원 투영이 가능하다.

2D 평면상에 투영된 꼭짓점들의 위치를 재배치함으로써 더 유익해진다. 이러한 방식으로 더 이상 정팔포체 내의 공간 관계를 반영하지 않는, 아래 예재와 같이 꼭짓점의 연결 구조를 나타내는 그림을 얻어낼 수 있다:

정팔포체는 원칙적으로 2개의 정육면체를 결합하여 얻는다. 이 원칙은 2개의 정사각형으로 이루어진 구조의 정육면체와 비슷하며 하위 차원인 정육면체의 두 복사본을 병치하고 해당 꼭짓점을 연결한다는 것이다. 정팔포체의 각 모서리는 길이가 같다. 이것은 [[네트워크 토폴로지]]가 여러 프로세서를 [[병렬 컴퓨팅]]으로 연결하기 위한 기초로 정팔포체를 사용할 때 중요하다. 두 노드 사이의 거리는 최대 4이고 무게 균형을 허용하는 많은 경로가 있다.{{-}}

=== 3차원으로의 평행 투영 ===
[[파일:Hypercubeorder binary.svg|섬네일|마름모꼴의 12면체는 정팔포체의 꼭짓점 - 1번째 평행 투영의 볼록한 선체를 형성한다. 이 투영법의 레이어에 있는 꼭짓점의 수는 1&nbsp;4&nbsp;6&nbsp;4&nbsp;1— [[파스칼의 삼각형]]의 4번째 행이다.]]

{| class=wikitable
|[[파일:Orthogonal projection envelopes tesseract.png|섬네일|왼쪽|정팔포체의 평행 투영 엔벨로프이다(각 포는 다른 색상면으로 그려져 있고 반전된 포는 비연전).]]
정팔포체의 3차원 공간으로의 ''첫 번째 포''의 평행 투영은 [[정육면체]] 모양의 엔벨로프를 갖는다. 가장 가까운 포와 가장 먼 포가 정육면체로 투영되고 나머지 6개의 포가 6개의 정사각형 모양의 면에 투영된다.

정팔포체의 3차원 공간으로의 ''첫 번째 면''의 평행 투영은 [[직육면체]] 모양의 엔벨로프를 갖는다. 이 엔벨로프의 상반부와 하반부에 2쌍의 포가 돌출되어 있으며 나머지 4개의 포는 측면에 투사된다.

정팔포체의 3차원 공간으로의 ''첫 번째 모서리''의 평행 투영은 [[육각기둥]] 모양의 엔벨로프를 갖는다. 6개의 포는 3차원 입방체의 면이 육각형 엔벨로프로 6개의 마름모에 투영되는 것과 유사한 방식으로 육각기둥에 배치된 마름모꼴 프리즘에 투영되고, 나머지 2개의 포는 각기둥의 밑면에 투영된다.
|}

== 갤러리 ==
<gallery>
Hypercubeorder.svg|
Hypercubecubes.svg|
Hypercubestar.svg|
Tesseract.gif|정팔포체의 회전도
8-cell-simple.gif|
正八胞体を平行法で眺める図.gif|왼쪽의 그림을 평행법으로 입체적으로 볼 수 있다.
Hypercube Axonometric projection.4.gif|
</gallery>

== 각주 ==
=== 내용주 ===
{{각주|group="주"}}

=== 출처 ===
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[정십육포체]]
* [[정이십사포체]]
* [[정백이십포체]]
* [[정육백포체]]

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|ko}} [https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3568440&cid=58944&categoryId=58970 네이버 캐스트 - 4차원 입체도형]
* {{언어링크|ja}} [http://www2.tokai.or.jp/seed/seed/minnna14.htm 삼각 사각의 비눗방울?]


{{폴리토프}}

[[분류:4차원 다포체]]
[[분류:기하학]]
[[분류:4차원 기하학]]
[[분류:대수적 위상수학]]