정팔면체 문서 원본 보기

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'''정팔면체'''(正八面體, octahedron)는 한 개의 꼭짓점에 네 개의 면이 만나고, 여덟 개의 [[정삼각형]] 면으로 이루어진 3차원 [[정다면체]]이다. [[면 (기하학)|면]]의 수는 8개, [[꼭짓점]]의 수는 6개로 [[정육면체]]와 서로 반대이다. [[모서리]]의 개수는 12개이다. 그러므로 정팔면체는 [[정육면체]]와 서로 [[쌍대다면체]]이다. 참고로 정팔면체는 [[맞붙인 사각뿔|사각쌍뿔]]로 생각하거나 보아도 되며 꼭짓점이 [[사각뿔]]인데, 엇정삼각기둥으로 볼 수 있다. 또한 [[정사면체]]의 각 꼭짓점을 모서리의 절반 지점까지 깎아서도 만들 수 있다고 하여 사사면체 라고 한다. 이면각은 109.47°이며, 이는 [[정사면체]]와 함께 조합한다면 [[정사면체-정팔면채 벌집|3차원 공간을 가득 채울 수 있는데]], 이것의 쌍대는 마름모십이면체 벌집이다. 한 모서리에 모일 수 있는 정팔면체의 개수는 3개이다. 이는 각각 [[정이십사포체]]에 해당한다.

== 구와 정팔면체의 관계 ==
정팔면체의 모서리 길이가 a이면, 외접구(모든 꼭짓점에서 팔면체와 접촉하는 구)의 반지름은 다음과 같다.

: <math>r_u = \frac{\sqrt{2}}{2} a \approx 0.707a</math>

팔면체의 각 면에 내접하는 내접구의 반지름은 다음과 같다.

: <math>r_i = \frac{\sqrt{6}}{6} a \approx 0.408a</math>

각각의 모서리의 중앙을 지나는 구의 반지름은 다음과 같다.

: <math>r_m = \tfrac{1}{2} a = 0.5a</math>

== 겉넓이와 부피 ==

한 [[모서리]]의 길이가 <math>a</math>인 정팔면체의 [[부피]]와 [[겉넓이]]는 다음과 같다.
:<math>V=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3</math>
:<math>A=2\sqrt{3}a^2</math>

또한, 한 모서리의 길이가 <math>a</math>인 정육면체에 꼭 맞게 들어가는 정팔면체의 부피는 다음과 같다.
:<math>V=\frac{1}{6}a^3</math>

== 비슷한 다면체 ==

{| class="wikitable"
|[[파일:hexahedron.jpg|100px]]<br />[[정육면체]]
|[[파일:truncatedhexahedron.jpg|100px]]<br />[[깎은 정육면체]]
|[[파일:Cuboctahedron.svg|100px]]<br />[[육팔면체]]
|[[파일:truncatedoctahedron.jpg|100px]]<br />[[깎은 정팔면체]]
|}

{{정다면체}}
{{전거 통제}}
{{토막글|기하학}}

[[분류:정다면체]]