정칙 벡터 다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''정칙 벡터 다발'''(正則vector다발, {{Llang|en|holomorphic vector bundle}}) 또는 '''해석적 벡터 다발'''(解析的vector다발, {{llang|en|analytic vector bundle}})은 [[복소다양체]] 위에 정의된, 사영 사상이 [[정칙 함수]]인 [[복소수 벡터 다발]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=벡터 속 이론|저자=양재현|출판사=민음사|날짜=1989-01-01|isbn=89-374-3560-8|url=http://minumsa.minumsa.com/book/958/|언어=ko}}</ref>

== 정의 ==
<math>M</math>이 [[복소다양체]]이고, 그 위에 <math>\pi\colon E\to M</math>이 [[복소수 벡터 다발]]이라고 하자. 그렇다면 <math>E</math> 또한 [[복소다양체]]를 이룬다. 만약 사영 <math>\pi</math>가 [[복소다양체]] 사이의 [[정칙 함수]]라면, <math>E</math>를 '''정칙 벡터 다발'''이라고 한다.

마찬가지로, <Math>\pi</math>의 [[단면 (올다발)|단면]] <math>s \colon M \to E</math>가 [[정칙 함수]]라면, 이를 <math>\pi</math>의 '''정칙 단면'''(正則斷面, {{llang|en|holomorphic section}})이라고 한다. 정칙 벡터 다발 <math>E</math>의 정칙 단면들의 모임은 [[국소 자유 가군층]]을 이루며, <math>\mathcal O(E)</math>라고 쓴다. 만약 <math>E</math>가 자명한 복소수 [[선다발]] <math>\underline{\mathbb C}</math>라면, <math>\mathcal O(\underline{\mathbb C})</math>는 <math>M</math>의 [[구조층]]({{llang|en|structure sheaf}}) <math>\mathcal O_M</math>과 같다.

== 연산 ==
정칙 벡터 다발 <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌을 때, 정칙 [[벡터 다발]]
:<math>\pi^* \colon E^* \twoheadrightarrow M</math>
을 정의할 수 있다. 그 올
:<Math>E_x^* = \hom_{\mathbb C}(E_x,\mathbb C)</math>
은 <math>E_x</math>의 복소수 [[쌍대 공간]]이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 [[켤레 벡터 다발]]은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

== 성질 ==
정칙 벡터 다발 <math>E\to M</math>의 [[코호몰로지]] <math>H^\bullet(-,\mathcal O(E))</math>는 그 해석적 단면들의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal O(E)</math>의 [[층 코호몰로지]]다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.
* <math>H^0(M,\mathcal O(E))</math>는 <math>E</math>의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 [[아벨 군]]이다.
* <math>H^1(M,\mathcal O(E))</math>는 자명 [[선다발]]의 <math>E</math>에 대한 확대들의 [[아벨 군]]이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 [[짧은 완전열]]을 이루는 해석적 벡터 다발 <math>F</math>들로 구성된다.
*:<math>0\to E\to F\to M\times\mathbb C\to0</math>

=== 정칙 접속 ===
[[복소다양체]] <math>M</math> 위의 복소수 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 [[매끄러운 함수]] 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>
\nabla\colon \Gamma^\infty(\mathrm TE) \to \Gamma^\infty(\mathrm T^*M \otimes_{\mathbb R} E) = \Omega^1(E)</math>
그런데 복소다양체에서 [[쌍대접공간]] <math>\mathrm T^*_xM</math>의 복소화 <math>\mathrm T^*_xM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C</math>는 다음과 같이 분해된다.
:<Math>\mathrm T^*_xM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C = \mathrm T^{(0,1)*}_xM \oplus \mathrm T^{(1,0)*}_xM</math>
즉,
:<math>\mathrm T^*M \otimes_{\mathbb R} E = (\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}\mathbb C) \otimes_{\mathbb C} E
= (\mathrm T^{(0,1)*}M \otimes_{\mathbb C} E)
\oplus
(\mathrm T^{(1,0)*}M \otimes_{\mathbb C} E)
</math>
와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math> 역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
:<math>\nabla^{(1,0)}\colon \Omega^0(M;E) \to \Omega^{1,0}(M;E)</math>
:<math>\nabla^{(0,1)}\colon \Omega^0(M;E) \to \Omega^{0,1}(M;E)</math>

이제, <math>E</math>가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는
:<math>\bar\partial \colon \Omega^0(M;E) \to \Omega^{0,1}(M;E)</math>
가 잘 정의된다. (이는 <Math>E</math>의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 [[정칙 함수]]이기 때문이다. 반면, <math>\partial\colon\Omega^0(M;E) \to \Omega^{1,0}(M;E)</math>는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 <math>E</math>가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 <Math>\partial</math>이 정의되며 <math>\bar\partial</math>이 정의되지 않는다.) 만약
:<math>\nabla^{(0,1)} = \bar\partial</math>
이라면, 접속 <math>\nabla</math>를 '''정칙 접속'''({{llang|en|holomorphic connection}})이라고 한다.

=== 에르미트 계량 ===
에르미트 계량 <math>\langle-,-\rangle</math>를 갖춘 [[복소수 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>의 경우, '''[[에르미트 접속]]'''의 개념이 존재한다. 만약 <math>E</math>가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 [[벡터 다발 접속]]의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 '''천 접속'''([陳]接續, {{llang|en|Chern connection}})이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 [[복소수 미분 형식]]이다.

만약 <math>E</math>가 [[켈러 다양체]]의 [[정칙 접다발]]인 경우, 천 접속은 [[리만 계량]]으로 유도되는 [[레비치비타 접속]]과 같다.

정칙 선다발 <math>\pi\colon L \to M</math>의 국소 자명화
:<math>\phi_i \colon \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times \mathbb C</math>
가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가
:<math>g_{ij}\colon U_i \cap U_j \to \mathbb C^\times</math>
라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상
:<math>\langle s,t\rangle (z) = \exp(2a_i(z)) \bar st\qquad\forall s,t\in \Gamma(U_i,L)</math>
:<math>a_i \colon U_i \to \mathbb R</math>
이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은
:<math>a_j(x) = a_i(x) + \ln |g_{ij}|\qquad\forall x\in U_i \cap U_j</math>
인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은
:<math>F \restriction U_i = -\frac12\mathrm i\partial\bar\partial a_i</math>
로 주어진다.

== 예 ==
=== 정칙 접다발 ===
[[복소다양체]] <math>M</math>의 접다발 <math>\mathrm TM</math>을 생각하자. 그 위에 [[복소구조]] <math>J\colon \mathrm TM\to\mathrm TM</math>가 작용하며, 이는 정의에 따라 <math>J^2=-1</math>을 만족시킨다. 즉,
:<math>J\colon\mathrm TM\otimes\mathbb C\to\mathrm TM\otimes\mathbb C</math>
의 [[고윳값]]은 <math>\pm\mathrm i</math>이며, 이에 의하여
:<math>\mathrm TM\otimes\mathbb C=\mathbb T^+M \oplus\mathrm T^-M</math>
으로 분해된다. 이 경우, <math>\mathrm T^+M</math>은 '''정칙 접다발'''({{llang|en|holomorphic tangent bundle}})이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, <math>\mathrm T^-M</math>은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

=== 대수적 벡터 다발 ===
비특이 복소수 [[대수다양체]] <math>X</math> 위의 [[대수적 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow X</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 <math>X^{\operatorname{an}}</math> 및 [[복소다양체]] 사이의 [[정칙 함수]] <math>E^{\operatorname{an}}\twoheadrightarrow X^{\operatorname{an}}</math>를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 <math>X</math>가 추가로 [[사영 대수다양체]]라면, <math>X^{\operatorname{an}}</math> 위의 모든 정칙 벡터 다발은 <math>X</math> 위의 [[대수적 벡터 다발]]에서 유래한다. 이는 [[가가 정리]]의 한 경우이다.

=== 자명한 다발 ===
[[복소수 벡터 공간]] <math>\mathbb C^n</math> 위의 자명한 복소수 벡터 다발
:<math>\mathbb C^m\times\mathbb C^n \twoheadrightarrow \mathbb C^n</math>
은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

== 역사 ==
에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 [[천싱선]]이 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[버코프-그로텐디크 정리]]
* [[세르 쌍대성]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Vector bundle, analytic}}
* {{매스월드|id=HolomorphicVectorBundle|title=Holomorphic vector bundle}}
* {{매스월드|id=HolomorphicLineBundle|title=Holomorphic line bundle}}
* {{nlab|id=holomorphic vector bundle|title=Holomorphic vector bundle}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소다양체]]
[[분류:벡터 다발]]