정칙 공간 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''정칙 공간'''(正則空間, {{llang|en|regular space}})은 [[서로소 집합|서로소]]인 점과 [[닫힌집합]]을 각각을 포함하는 서로소 [[근방]]으로 분리할 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[파일:Regular space.svg|섬네일|right|정칙 공간의 정의]]
위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''정칙 공간'''이라고 한다.
* (점과 [[닫힌집합]]의 분리) 임의의 [[닫힌집합]] <math>F\subseteq X</math>와 점 <math>x\in X\setminus F</math>에 대하여, <math>x\in U\subseteq X\setminus V\subseteq X\setminus F</math>가 되게 하는 [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|195, §31}}
* 임의의 점 <math>x\in X</math>에 대하여,  <math>x</math>를 포함하는 [[정칙 닫힌집합]](즉, <math>x</math>의 열린 [[근방]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]])들은 <math>x</math>의 [[국소 기저]]를 이룬다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
정칙 하우스도르프 공간은 [[우리손 공간]]이다. [[완비 정칙 공간]]은 정칙 공간이다.

정칙 하우스도르프 공간과 [[완비 하우스도르프 공간]] 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.

=== 하우스도르프 조건과의 관계 ===
정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[콜모고로프 공간]]이다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
정칙 [[하우스도르프 공간]]을 '''T<sub>3</sub> 공간'''({{llang|en|T<sub>3</sub> space}})이라고 부르기도 한다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
정칙 공간의 부분 집합은 항상 정칙 공간이다. (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 [[곱공간]]은 정칙 공간이다. 또한, (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 [[상자 위상|상자곱]]은 정칙 공간이다.

=== 크기 ===
정칙 [[하우스도르프 공간]]은 [[비가산 집합]]이거나 아니면 [[완전 분리 공간]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>X</math>가 가산 정칙 공간이라고 하자. 그렇다면, 가산 위상 공간은 (자명하게) [[린델뢰프 공간]]이며, 정칙 린델뢰프 공간은 [[정규 공간]]이므로, <math>X</math>는 [[정규 공간]]이며, 특히 [[완비 하우스도르프 공간]]이다.

[[공집합]]은 정의에 따라 [[연결 공간]]이 아니다. 만약 <math>X</math>의 크기가 2 이상이라면 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>를 고를 수 있으며, [[완비 하우스도르프 공간]]의 조건에 의하여 <math>f(x)=0</math>, <math>f(y)=1</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>을 찾을 수 있다. <math>X</math>가 [[가산 집합]]이므로 <math>r\in[0,1]\setminus f(X)</math>를 고를 수 있다. 그렇다면 <math>X=f^{-1}([0,r))\cup f^{-1}((r,1])</math>이므로, <math>X</math>는 두 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]으로 분해되며, 따라서 [[연결 공간]]이 아니다.

보다 일반적으로, <math>X</math>의 모든 부분 공간은 가산 정칙 공간이며, 따라서 [[한원소 집합]]이 아니라면 [[연결 공간]]이 될 수 없다. 따라서 <math>X</math>의 [[연결 성분]]들은 모두 [[한원소 집합]]이며, <math>X</math>는 [[완전 분리 공간]]이다.
</div></div>

=== 정칙 열린집합 ===
정칙 공간의 [[정칙 열린집합]]들의 족은 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다. 그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다 (즉, [[정칙 열린집합]]들이 기저를 이루지만 정칙 공간이 아닌 위상 공간이 존재한다).

== 예 ==
정칙 공간이 아닌 하우스도르프 공간의 예는 다음을 들 수 있다. 실수의 집합 <math>\mathbb R</math>에, 다음과 같은 집합들을 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 위상을 정의하자.
:<math>\{U\setminus C\colon|C|<\aleph_0,U\in\mathcal T(\mathbb R)\}</math>
여기서 <math>\mathcal T(\mathbb R)</math>는 실수의 표준적인 위상에서의 열린 집합들의 모임이다. 그렇다면, 이 비표준 위상을 준 실수 집합은 하우스도르프 공간이지만 정칙 공간이 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Regular space}}
* {{매스월드|id=RegularSpace|title=Regular space}}
* {{nlab|id=regular space|title=Regular space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Regular_space|제목=Regular space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Regular_Hausdorff_space|제목=Regular Hausdorff space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Semiregular_space|제목=Semiregular space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Regular_open_subset|제목=Regular open subset|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

[[분류:위상 공간의 성질]]