정칙함수의 해석성 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 [[복소수]] ''z''를 변수로 가지는 복소 [[함수]] <span></span>:
* 점 ''a''를 중심으로 하는 일부 [[열린 원판]]의 모든 점에서 [[미분가능]]하다면 [[정칙함수]]라고 불리며,
* ''a''를 중심으로 하는 열린 원판에서 [[수렴급수|수렴하는]] [[멱급수]]로 확장할 수 있으면 ''a''에서 [[해석적]]이라고 불린다
:: <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n</math>

: (이것은 [[수렴반경]]이 양수라는 것을 내포한다).
복소해석학에서 가장 중요한 점은 '''정칙함수는 해석적'''이라는 것이다. 이 이론의 증명들은
* 각 함수의 정의역의 교집합에서 [[집적점]]이 있는 무한집합 ''S''의 모든 점에서 일치하는 두 정칙함수가 S를 포함한 모든 정의역의 연결된 열린 부분 집합에서 일치하는 [[항등 정리]]와,
* 멱급수가 무한히 미분가능하며, 정칙함수도 그러하다(이것은 미분가능한 실수 함수와는 반대의 결과다)는 사실과
* 수렴반경이 항상 중심 ''a''에서 가장 가까운 [[특이점 (해석학)|특이점]]까지의 거리라는 사실과; 만약 특이점이 없다면 (예를 들어 ''ƒ''가 [[전해석 함수]]라면), 수렴반경은 무한이다. 엄밀히 말하면 이것은 이론의 추론이 아니고 증명의 부산물이다.
* 어떤 복소평면위의 [[범프 함수]]도 전해석적이지 않다.In 특히 어떤 복소평면의 정칙적인 연결된 열린 부분집합에서 정의된 범프 함수는 있을 수 없다. T이것은 단위분할의 사용을 배제하기 때문에 복소 다양체 연구에서 중요한 파급효과를 가진다. 대조적으로, 단위분할은 실 다양체에서 쓰이는 도구이다.

== 증명 ==
[[오귀스탱 루이 코시|코시]]가 처음 제시한 논증은 [[코시 적분식]]과 <math>{\frac {1}{w-z}}</math>의 멱급수 전개에 달려있다.
:
''D''를 ''a''를 중심으로하는 열린 원판이라고 하고 ''ƒ'' 가 D의 경계를 포함하여 열린 주변에서 미분가능하다고 가정하자. ''D''의 경계인 ''C''를 양의 방향(즉, 반시계 방향)의 원이라 가정하고, ''z''를 ''D''의 한 점이라고 가정하자. 코시 적분식에서 시작하자
: <math>\begin{align}f(z) &{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over w-z}\,\mathrm{d}w \\[10pt]

&{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)-(z-a)} \,\mathrm{d}w \\[10pt]
&{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm{d}w \\[10pt]
&{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{\sum_{n=0}^\infty\left({z-a \over w-a}\right)^n} f(w)\,\mathrm{d}w \\[10pt]
&{}=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2\pi i}\int_C {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1}} f(w)\,\mathrm{d}w.\end{align}</math>
적분과 무한 합을 교환하는 것은 ''C''의 모든 ''w''에 대해 <math>f(w)/(w-a)</math>가 C에서 어떤 양수 M에 대한 유계함수라는 것을 통해 정당화된다.
: <math>\left|\frac{z-a}{w-a}\right|\leq r < 1 </math>
여기서 ''r''은 적당한 양수이다. 우리는 따라서 C에 대해서 다음을 알 수 있다:
: <math>\left| {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1} }f(w) \right| \le Mr^n,</math>
그리고 바이어슈트라스 M-판정법을 사용함으로써 급수는 C에서 균등하게 수렴한다는 것을 보여주므로, 급수와 적분이 교환될 수 있다.

인자 (''z''&nbsp;−&nbsp;''a'')<sup>''n''</sup> 는 적분변수 ''w''에 의존하지 않기 때문에 적분기호 밖으로 빠져나올 수 있다
: <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty (z-a)^n {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w,</math>
이것은 우리가 원하던 ''z''로 표현되는 형태이다:
: <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n</math>
계수 C<sub>n</sub>는 다음과 같다:
: <math>c_n={1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w.</math>

== 비고 ==
* 멱급수는 항 별로 미분가능하기 때문에 위의 인자를 반대방향으로 적용하고 다음의 멱급수 표현
:: <math> \frac 1 {(w-z)^{n+1}} </math>

: 은 다음을 도출한다

:: <math>f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}}\, dw.</math>

: 이것은 도함수의 코시 적분식이다. 따라서 위의 식을 포함하는 멱급수는 ''f''의 [[테일러 급수]]이다.
* 인수는 ''z''가 ''ƒ''의 특이점보다 중심 ''a''에 가까우면 작용한다. 따라서 테일러 급수의 수렴반경은 a에서 가까운 특이점 까지의 거리보다 작을 수 없다(또한 멱급수는 수렴반경 내부에서 특이점이 없으므로 클 수도 없다).
* 특별한 경우의 [[항등 정리]]는 이전의 비고를 따른다. 만약 두 정칙함수가 (충분히 작은) ''a''의 열린 주변 ''U''에서 동일하다면 이것들은 열린 원판 ''B<sub>d</sub>''(''a'')에서 일치한다. 여기서 ''d''는 ''a''에서 가장 가까운 특이점 까지의 거리이다.

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=ExistenceOfPowerSeries|제목=Existence of power series}}

[[분류:해석 함수]]
[[분류:복소해석학 정리]]