정칙렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''정칙렬'''(正則列, {{llang|en|regular sequence|레귤러 시퀀스}})은 어떤 [[가군]]의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, [[가환환]] 원소들의 열이다.<ref name="Matsumura">{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|translator1-first=Miles|translator1-last= Reid|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|123–152, Chapter 6}} 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 [[부분 가군]]에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 <math>a_i</math>는 그 이전 성분들(<math>a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1}</math>)로 생성되는 [[부분 가군]] <math>(a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1})M</math>에 대한 [[몫가군]] <math>M/(a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1})M</math>의 [[영인자]]가 아니다.

[[대수기하학]]적으로, 정칙렬은 [[여차원]]을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 [[대수다양체]]에 해당한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>
* <math>R</math>의 [[가군]] <math>M</math>. 또한, <math>\mathfrak aM\subsetneq M</math>이라고 하자.

유한 원소열 <math>r_1,\dots,r_n\in R</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>M</math>의 '''정칙렬'''이라고 한다.<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|419}}
* 임의의 <math>i=1,2,\dots,n</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여، 만약 <math>r_im \in (r_1,\dotsc,r_{i-1})M</math>이라면, <math>m \in (r_1,\dotsc,r_{i-1})M</math>이다. (즉, <math>r_i</math>는 <math>M/(r_1,\dots,r_{i-1})M</math>의 [[영인자]]가 아니다.)

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 <math>(r_1,\dotsc,r_n)M \ne M</math>이라는 조건을 추가한다. 이는 [[가군의 깊이]]의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 [[소멸자]] <math>\operatorname{Ann}_RM</math> 속의 일련의 부분 스킴들
:<math>\operatorname{Spec}\frac R{\operatorname{Ann}_RM} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{\operatorname{Ann}_R(M/r_1M)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{\operatorname{Ann}_R(M/(r_1,r_2)M)} \leftarrow\dotsb </math>
에 대응된다. 특히, 만약 <math>M = R</math>인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열
:<math>\operatorname{Spec}R \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1,r_2)} \leftarrow \dotsb</math>
에 해당한다.

== 성질 ==
<math>R</math>-[[가군]] <math>M</math> 속의 정칙렬 <math>r_1,r_2,\dotsc,r_d</math>이 주어졌을 때, 임의의 [[가역원]] <math>u_1,u_2,\dots,u_d \in R^\times</math>에 대하여 <math>u_1r_1,\dotsc,u_dr_d</math> 역시 정칙렬이다.

=== 국소화 ===
<math>R</math>-가군 <math>M</math> 속의 정칙렬 <math>r_1,\dotsc,r_d</math>이 주어졌으며, <math>R</math>의 곱셈 [[모노이드]] <math>S \subseteq R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>S^{-1}R</math>로 가는 표준 [[환 준동형]] <math>\phi \colon R \to S^{-1}R</math>에 대하여, 원소열 <math>\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)</math> 역시 <math>S^{-1}M</math>의 정칙렬이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
가군의 국소화는 [[완전 함자]]이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. <math>\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)</math>가 정칙렬이라는 것은
:<math>(\phi(r_i)\cdot)\colon \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M} \to \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M}</math>
가 [[단사 함수]]라는 것인데, 이는 [[단사 함수]]
:<math>r_i \colon \frac M{(r_1,\dotsc,r_{i-1})M} \to \frac M{(r_1,\dotsc,r_{i-1})M}</math>
의 [[상 (수학)|상]]이므로 [[단사 함수]]이다.
</div></div>
(※만약 정칙렬의 정의에 <math>(r_1,\dotsc,r_d)M \ne M</math>이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.)

=== 순열 ===
정칙렬의 [[순열]]은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, [[뇌터 가환환]] <math>R</math>의 [[유한 생성 가군]] <math>M</math>에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 <math>a_1,a_2,\dotsc,a_d</math>의 순열은 역시 정칙렬이다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|126, Theorem 16.3}}
* [[아이디얼]] <math>(a_1,a_2,\dotsc,a_d)</math>은 <math>R</math>의 [[가군의 근기|근기]] <math>\operatorname{rad}R</math>의 [[부분 집합]]이다.

=== 깊이 ===
{{본문|가군의 깊이}}
{{본문|코언-매콜리 환}}
[[뇌터 가환환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subsetneq R</math> 및 [[유한 생성 가군]] <math>M</math>이 주어졌을 때, <math>\mathfrak a</math> 속에 포함된 <math>M</math>-정칙렬의 최대 길이를 <math>(\mathfrak a,M)</math>의 '''[[가군의 깊이|깊이]]'''라고 한다. 이 개념은 [[호몰로지 대수학]]에서 중요한 역할을 한다.

[[국소 가환환]]에서, [[극대 아이디얼]]에 포함된 정칙렬의 길이는 그 [[크룰 차원]] 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) [[국소 가환환]]을 '''[[코언-매콜리 국소환]]'''이라고 한다.

== 예 ==
길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 [[영인자]]가 아닌 임의의 원소이다.

=== 정칙렬이 아닌 정칙렬 순열 === 
<math>\mathbb C[x,y,z]</math>를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우,
:<math>x, y(1-x), z(1-x)</math>
는 정칙렬이다. 그러나 그 [[순열]]인
:<math>y(1-x),z(1-x),x</math>
는 정칙렬이 아니다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|127, §16}} 구체적으로, <math>y(1-x)</math>는 <math>\mathbb C[x,y,z]</math>의 [[영인자]]가 아니지만, <math>z(1-x)</math>는 <math>\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x))</math>의 [[영인자]]이다. 예를 들어
:<math>z(1-x)\cdot y \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z]</math>
:<math>y \not \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z]</math>
이다.

기하학적으로, <math>\mathbb C[x,y,z]</math>는 3차원 [[아핀 공간]]이며, 이 경우
:<math>\mathbb C[x,y,z]/(x)</math>
는 <math>x = 0</math>으로 정의되는 <math>yz</math> 평면이다. 그 속에서
:<math>\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y)</math>
는 <math>z</math>축이며,
:<math>\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y,z)</math>
는 그 속의 원점이다.

반면,
:<math>\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x))</math>
는 <math>y=0</math> 평면과 <math>x = 1</math> 평면의 [[합집합]]이다. 그 속에서
:<math>\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))</math>
는
:<math>y=z=0</math> 축과 <math>x=1</math> 평면의 [[합집합]]이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

== 같이 보기 ==
* [[코쥘 복합체]]
* [[가군의 깊이]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=RingRegularSequence|title=Ring regular sequence}}
* {{nlab|id=regular sequence|title=Regular sequence}}
* {{웹 인용|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUH | 제목=§10.67 Regular sequences | 웹사이트=The Stacks Project | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]