정역학적 평형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Hydrostatic equilibrium.png|섬네일|right|정수압 평형 상태에 있는 새로 형성된 행성의 다이어그램.]]
{{각주 부족|날짜=2024-05-17}}

'''정역학적 평형'''(靜力學的平衡, {{lang|en|hydrostatic equilibrium}})은 [[연속체 역학]]에서 [[유체]]가 움직이지 않거나, 또는 각 지점의 흐름 속도가 시간이 지나도 일정한 상태를 말한다. [[중력]] 따위의 힘이 [[압력경도력]]에 의해 상쇄되면 정역학적 평형 상태가 된다.<ref>White (2008). p 63, 66.</ref> 예컨대 [[지구 대기]]를 보면, 대기압 경도력이 중력으로 인해 대기가 얇고 밀도 높은 껍질 상태가 되는 것을 막아주고, 중력은 대기압 경도력으로 인해 대기가 우주 공간으로 흩어져 버리는 것을 막아준다.

== 수학적 유도 ==
[[파일:Hydrostatic equilibrium.svg|섬네일|250px|유체 덩어리가 움직이지 않는다면, 위를 향하는 힘과 아래를 향하는 힘의 크기는 같아야 한다.]]
=== 운동법칙에서 유도 ===
[[뉴턴의 운동법칙]]에 따르면 유체가 움직이지 않거나 일정한 속도를 가지려면 유체에 가해지는 합력은 0이 되어야 한다. 즉 어느 한 방향으로 가해지는 힘의 총합은 그와 반대 방향으로 가해지는 힘의 총합과 크기가 같고, 이 평형 상태를 정역학적 평형이라 한다.

유체 덩어리를 무수한 작은 [[직육면체]] 단위로 나눈다고 생각해 보자.

여기에 작용하는 힘은 3가지가 있다. 직육면체의 위쪽 면에 대하여 아래쪽으로 작용하는 압력 <math>P</math>는 [[압력]]의 정의에 의하여 다음과 같이 기술된다.
:<math>F_{top} = - P_{top} \cdot A.</math>
아래쪽 면에 대하여 위쪽으로 작용하는 압력 역시 다음과 같이 기술된다.
:<math>F_{bottom} = P_{bottom} \cdot A.</math>

그리고 직육면체 자체의 [[중력]]으로 인한 [[무게]]가 아래쪽으로 작용한다. [[밀도]]가 <math>\rho</math>, 부피가 <math>V</math>, [[표준중력]]이 <math>g</math>일 때
:<math>F_{weight} = -\rho \cdot g \cdot V.</math>
직육면체의 부피는 윗면 또는 아랫면의 면적에 높이를 곱한 것이므로
:<math>F_{weight} = -\rho \cdot g \cdot A \cdot h</math>

이 힘들이 평형을 이루기 위해 유체에 작용하는 합력은
:<math>\sum F = F_{bottom} + F_{top} + F_{weight} = P_{bottom} \cdot A - P_{top} \cdot A - \rho \cdot g \cdot A \cdot h.</math>
이며, 이 합력이 0이 될 때 유체의 속도는 일정해진다.
:<math>0 = P_{bottom} \cdot A - P_{top} \cdot A - \rho \cdot g \cdot A \cdot h.</math>
양변을 <math>A</math>로 나누면
:<math>0 = P_{bottom} - P_{top} - \rho \cdot g \cdot h.</math>
정리하면
:<math>P_{top} - P_{bottom} = - \rho \cdot g \cdot h.</math>
<math>P_{top} - P_{bottom}</math>는 압력의 변화를 의미하며, <math>h</math>는 단위부피의 높이, 즉 바닥에서의 거리 변화를 의미한다. 이 변화가 [[무한소]]로 작다고 가정하면, 식을 다음의 [[미분방정식]]으로 쓸 수 있다.
:<math>dP = - \rho \cdot g \cdot dh.</math>
밀도는 압력에 따라 변화하고, 중력은 높이에 따라 변화하므로,
:<math>dP = - \rho(P) \cdot g(h) \cdot dh.</math>

=== 나비에-스톡스 방정식에서 유도 ===
{{빈 문단}}

=== 일반상대론에서 유도 ===
{{빈 문단}}

== 응용 ==
=== 유체역학 ===
{{빈 문단}}

=== 천체물리학 ===
어떤 [[항성]]이 주어졌을 때, 이 항성의 내부 층에서는 바깥으로 향하는 열압력과 중심으로 향하려는 무게압력이 정역학적 평형을 이룬다. [[등방성]] 중력장은 항성을 최대한 조밀한 모양으로 만든다. 정역학적 평형 상태의 자전하는 항성은 납작하며 특정 각속도를 가진 [[매클로린 회전타원체]]가 된다. 극단적인 예로는 자전주기가 12.5시간인 [[베가]]가 있는데, 베가는 이렇게 빠른 자전속도 때문에 적도지름이 극지름보다 20% 더 크다. 임계 각속도를 넘어서는 각속도를 가지는 항성은 길쭉하며 축방향이 적도 단축보다 짧은 부등변의 [[야코비 타원체]]가 되고, 그보다도 빠르면 타원체도 유지하지 못하고 서양배 또는 [[오벌|달걀모양]]이 된다. 그 이상의 모양은 아직 밝혀진 바 없으며, 타원체 너머의 모양들도 애초 불안정하다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=313 |title=Gallery : The shape of Planet Earth |publisher=Josleys.com |date= |accessdate=2014-06-15}}</ref>

=== 행성지질학 ===
{{빈 문단}}

=== 대기과학 ===
{{빈 문단}}

== 같이 보기 ==
* [[중력적으로 둥근 태양계 천체 목록]]
* [[정역학]]
* [[유체 정역학]]

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* [https://terms.naver.com/100.nhn?docid=839567 네이버 백과사전 - 정역학적 평형]

{{전거 통제}}

[[분류:유체역학]]
[[분류:천체물리학]]
[[분류:행성의 정의]]