정수 문서 원본 보기

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[[파일:Number-line.svg|섬네일|400px|right|정수들의 집합은 순서에 따라 직선 위에 나타낼 수 있다. 직선위는 [[0]]을 기준으로 오른쪽은 양수, 왼쪽은 음수로 구분할 수 있다. ]]
[[수학]]에서 '''정수'''(整數, {{문화어|옹근수}}, integer)는 [[자연수|양의 정수]]([[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[6]], [[7]], [[8]],  ... , n), 음의 정수([[-1]], [[-2]], [[-3]], [[−4|-4]], [[−5|-5]], [[−6|-6]], -7, -8...) 및 [[0]]으로 이루어진 수의 체계이다. 또는 [[자연수]], 자연수의 [[음수]] 및 영을 통칭하는 말이다. [[수론]]의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수 전체의 집합의 기호는 <math>\mathbb Z</math>이다.

== 정의 ==
정수 체계는 (0을 포함하는) [[자연수]] 체계 <math>\mathbb N</math>으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 <math>\mathbb N\times\mathbb N</math> 위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 [[동치 관계]]를 주자.
:<math>(m,n)\sim(m+k,n+k)\forall k\in\mathbb N</math>
이 동치 관계에 대한 [[몫집합]]을 정수 집합 <math>\mathbb Z=(\mathbb N\times\mathbb N)/\sim</math>라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.
:<math>[(m,n)]_\sim+[(p,q)]_\sim=[(m+p,n+q)]_\sim</math>
:<math>[(m,n)]_\sim\cdot[(p,q)]_\sim=[(mp+nq,mq+np)]_\sim</math>
그렇다면 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>는 [[환 (수학)|환]]을 이루며, 이를 '''정수환'''(整數環, {{llang|en|ring of integers}})이라고 한다. 이러한 구성은 [[소거 법칙|소거]] [[가환 모노이드]]를 [[아벨 군]]으로 확장하는 [[그로텐디크 군]] 구성의 한 예다.

== 성질 ==
=== 대수적 성질 ===
[[자연수]] 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해 [[닫힘 (수학)|닫혀]] 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, [[뺄셈]]에도 닫혀 있다. [[나눗셈]]에는 닫혀 있지 않다.

{| class="wikitable"
|
!덧셈 || 곱셈
|-
| [[닫힘 (수학)|닫힘]] || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;은 정수 || ''a''&nbsp;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;은 정수
|-
| [[결합법칙]] || ''a''&nbsp;+&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;''c'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;(''b''&nbsp;×&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''b'')&nbsp;×&nbsp;''c''
|-
| [[교환법칙]] || ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;''b''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''b''&nbsp;×&nbsp;''a''
|-
| [[항등원]] || ''a''&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;1&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a''
|-
| [[역원]] || ''a''&nbsp;+&nbsp;(−''a'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;0 ||--------
|-
| [[분배법칙]] || colspan=2 align=center| &nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''c'')=''a''&nbsp;×&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;
|}

== 관련 개념 ==
[[유리수]]와 정수의 관계는 [[대수적 수]]와 [[대수적 정수]]의 관계까지 일반화될 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[수학]]
* [[음수]]
* [[양수]]
* [[유리수]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Integer}}
* {{매스월드|id=Integer|title=Integer}}
* {{nlab|id=integer|title=Integer}}

{{수 체계}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:초등 수학]]
[[분류:아벨 군론]]
[[분류:환론]]
[[분류:정수]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:수 체계]]