정삼각형 안에 원 채우기 문서 원본 보기

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'''정삼각형 안에 원 채우기'''는 ''n''개의 단위원을 가장 작은 [[정삼각형]]에 넣는 [[이산수학]]의 [[채우기 문제]]이다. 최적해는 ''n''&nbsp;<&nbsp;13일 때와 원의 개수가 [[삼각수]]일 때 알려져 있으며, ''n''&nbsp;<&nbsp;28일 때 추측이 가능하다.<ref name="Melissen">{{인용|last=Melissen|first=Hans|doi=10.2307/2324212|mr=1252928|issue=10|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|pages=916–925|title=Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle|volume=100|year=1993}}.</ref><ref>{{인용|last1=Melissen|first1=J. B. M.|last2=Schuur|first2=P. C.|doi=10.1016/0012-365X(95)90139-C|mr=1356610|issue=1-3|journal=[[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]|pages=333–342|title=Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle|volume=145|year=1995}}.</ref><ref>{{인용|last1=Graham|first1=R. L.|author1-link=Ronald Graham|last2=Lubachevsky|first2=B. D.|mr=1309122|journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]]|page=Article 1, approx. 39 pp. (electronic)|title=Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond|url=http://www.combinatorics.org/Volume_2/Abstracts/v2i1a1.html|volume=2|year=1995}}.</ref>

[[에르되시 팔]]의 추측과 노만 올러는 n이 삼각수일 때, 원이 ''n'' &#x2212; 1 개 일 때와 n 개 일 때 최적해는 한 변의 길이가 같다고 서술했다: 추측에 의하면 원이 ''n'' &#x2212; 1 개 일 때 최적 채우기는 원이 n 개 일 때 최적 육각 채우기에서 하나를 뺀 채우기라고 한다.<ref>{{인용|last=Oler|first=Norman|doi=10.4153/CMB-1961-018-7|mr=0133065|journal=Canadian Mathematical Bulletin|pages=153–155|title=A finite packing problem|volume=4|year=1961}}.</ref> 이 추측은 ''n'' ≤ 15일 때 성립한다.<ref>{{인용|last=Payan|first=Charles|doi=10.1016/S0012-365X(96)00201-4|mr=1439300|journal=[[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]|language=프랑스어|pages=555–565|title=Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler|volume=165/166|year=1997}}.</ref>

삼각형의 한 변의 길이의 최소해다:
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
! 원의 개수
! 길이
|-
| 1
| <math>2 \sqrt {3}</math> = 3.464...
|-
| 2
| <math>2 + 2 \sqrt {3}</math> = 5.464...
|-
| 3
| <math>2 + 2 \sqrt {3}</math> = 5.464...
|-
| 4
| <math>4 \sqrt {3}</math> = 6.928... [[파일:4_cirkloj_en_60_60_60_triangulo.png|120x120픽셀]]
|-
| 5
| <math>4 + 2 \sqrt {3}</math> = 7.464... [[파일:5_cirkloj_en_60_60_60_triangulo_v1.png|130x130픽셀]] [[파일:5_cirkloj_en_60_60_60_triangulo_v2.png|130x130픽셀]]
|-
| 6
| <math>4 + 2 \sqrt {3}</math> = 7.464...
|-
| 7
| <math>2 + 4 \sqrt {3}</math> = 8.928...
|-
| 8
| <math>2 + 2 \sqrt{3} + \dfrac {2} {3} \sqrt{33}</math> = 9.293...
|-
| 9
| <math>6 + 2 \sqrt {3}</math> = 9.464...
|-
| 10
| <math>6 + 2 \sqrt {3}</math> = 9.464...
|-
| 11
| <math>4 + 2 \sqrt {3} + \dfrac {4} {3} \sqrt{6}</math> = 10.730...
|-
| 12
| <math>4 + 4 \sqrt {3}</math> = 10.928...
|-
| 13
| <math>4 + \dfrac {10} {3} \sqrt{3} + \dfrac {2} {3} \sqrt{6}</math> = 11.406...
|-
| 14
| <math>8 + 2 \sqrt {3}</math> = 11.464...
|-
| 15
| <math>8 + 2 \sqrt {3}</math> = 11.464...
|}
비슷한 문제로는 정삼각형을 가능한한 작은 반경을 가지는 정해진 수의 원으로 채우는 것이다.<ref>{{인용|last=Nurmela|first=Kari J.|mr=1780209|issue=2|journal=Experimental Mathematics|pages=241–250|title=Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles|url=http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.em/1045952348|volume=9|year=2000|doi=10.1080/10586458.2000.10504649}}.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[직각이등변삼각형에 원 채우기]]<br>
* Malfatti 원, 정삼각형의 세 원의 최적해를 주는 구조이다

== 각주 ==
<references />

{{전거 통제}}

[[분류:원 채우기]]