정사각수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Square number 16 as sum of gnomons.svg|섬네일|4번째 정사각수 4<sup>2</sup>=16은 연속된 4개의 홀수 1, 3, 5, 7를 더한 합이다.]]
[[수학]]에서 '''정사각수'''(正四角數, {{llang|en|square number}}) 또는 '''제곱수'''(-數) 또는 '''완전제곱수'''(完全-數, {{llang|en|perfect square number}})는 어떤 자연수의 [[제곱]]이 되는 수다. 기하학적으로, 이는 그림과 같이 [[정사각형]] 모양의 배열로 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>n^2</math>의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 '''정사각수'''라고 한다. 처음 20개 정사각수는 다음과 같다.
:0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, … {{OEIS|A000290}}

== 성질 ==
모든 정사각수는 홀수개의 [[약수]]를 가진다.

모든 정사각수는 [[완전수]]가 아니다.

정사각수는 1부터 시작하는 연속된 [[홀수]]의 합과 같다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>n^2=\sum_{k=1}^n(2k-1)</math>
기하학적으로 이는 다음과 같은 그림을 통해 이해할 수 있다.
{| class="wikitable"
| width="25%" align="center" | [[파일:Square_number_1_with_gnomon.svg]]
| width="25%" align="center" | [[파일:Square_number_4_with_gnomon.svg]]
| width="25%" align="center" | [[파일:Square_number_9_with_gnomon.svg]]
| width="25%" align="center" | [[파일:Square_number_16_with_gnomon.svg]]
|-
| align="center" | <math>0 + \color{blue}1 \color{black}= 1</math>
| align="center" | <math>1 + \color{blue}3 \color{black}= 4</math>
| align="center" | <math>4 + \color{blue}5 \color{black}= 9</math>
| align="center" | <math>9 + \color{blue}7 \color{black}= 16</math>
|}

[[라그랑주 네 제곱수 정리]]에 따르면, 모든 자연수는 최대 4개의 정사각수의 합으로 표현이 가능하다.

== 사각뿔수 ==
{{본문|사각뿔수}}
'''정사각수'''의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사각뿔을이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 '''사각뿔수'''라고 한다.

제<math>n</math> 사각뿔수는 제1 정사각수에서부터 제<math>n</math> 정사각수까지의 합이고, 그 값 <math>N</math> 은 다시 <math>N = \frac {n(n+1)(2n+1)} 6</math>으로 쓸 수 있다.

사각뿔수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...

사각뿔수와 [[사면체수]]는 서로 밀접한 연관이 있다. 한 예로, 이웃한 두 사면체수를 더하면 사각뿔수가 된다.
사면체수는 1, 4, 10, 20, 35, 56, .. 등이 있는데, 1+4=5, 4+10=14처럼 이웃한 두 사면체수의 합은 정확히 사각뿔수가 된다. n번째 사면체수를 <math>T_n</math>, n번째 사각뿔수를 <math>P_n</math>라고 하고 이 공식을 일반화하면 <math>T_n + T_{n+1} = P_{n+1}</math>가 된다. 이 공식은 사각뿔수와 사면체수의 공식을 가지고 계산하면 왜 그런지 금방 알 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[삼각수]]
* [[세제곱수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SquareNumber|title=Square number}}

[[분류:도형수]]
[[분류:정수열]]