정다각형 테셀레이션 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{번역 중|en:Euclidean tilings by convex regular polygons}}

{| class="wikitable floatright" style="width:300px;"
|+ 정다각형 타일링의 예시
|- valign=top
|[[파일:1-uniform n1.svg|150px]]<br/>[[#정규 타일링|정규 타일링]]은 한 종류의 정다각형이 쓰인다.
|[[파일:1-uniform n2.svg|150px]]<br/>[[#준정규 타일링|준정규 타일링 또는 균일 타일링]]은 [[꼭짓점 배치]]가 한 가지이지만, 두 종류 이상의 정다각형이 쓰인다.
|- valign=top
|[[파일:2-uniform n1.svg|150px]]<br/>[[#k-균일 타일링|''k''-균일 타일링]]은 ''k''가지 꼭짓점 배치가 있고, 두 종류 이상의 정다각형이 쓰인다.
|[[파일:Distorted truncated square tiling.svg|150px]]<br/>[[#모서리 대 모서리로 만나지 않는 타일링|모서리 대 모서리로 만나지 않는 타일링]]은 다른 크기의 정다각형이 있을 수 있다.
|}
'''정다각형 타일링'''은 [[정다각형]]으로 유클리드 [[평면]]을 채우는 [[타일링]]으로, 고대부터 널리 쓰여 왔다. 1619년 [[케플러]]의 책 《[[세계의 조화]]》에서 이 테셀레이션에 대해 최초로 체계적이며 수학적으로 접근했다.

== 유클리드 타일링의 표기법 ==
유클리드 타일링은 대부분 Cundy & Rollett의 표기법을 사용한다.<ref>{{서적 인용|last1=Cundy |first1=H.M.|last2=Rollett |first2=A.P. |title=Mathematical Models; |date=1981 |publisher=Tarquin Publications |location=Stradbroke (UK)}}</ref> 이 표기법은 (1) 꼭짓점의 개수, (2) 각 꼭짓점이 접하는 다각형의 개수([[시계 방향]]), (3) 그 다각형 각각의 변의 개수를 나타낸다. 예를 들어서 3<sup>6</sup>; 3<sup>6</sup>; 3<sup>4</sup>.6에서 2가지 다른 꼭짓점 배치를 가지는 3개의 꼭짓점이 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 타일링을 '3-균일(2-꼭짓점 종류)' 타일링이라고 한다. 쪼개서 보면, 3<sup>6</sup>; 3<sup>6</sup> (추이가 다름) 또는 (3<sup>6</sup>)2에서 정삼각형 6개가 모인 꼭짓점이 2개라는 것을 알 수 있다. 마지막 꼭짓점 3<sup>4</sup>.6에서는 4개의 인접한 변 길이가 같은 정삼각형과 하나의 정육각형이 모여 있다는 걸 알 수 있다.

하지만 이 표기법은 형태와 특이성이 애매해서 두 가지 큰 문제가 있다.<ref name="Gomez-Jauregui 2012">{{저널 인용|last1=Gomez-Jauregui |first1=Valentin al.|last2=Otero |first2=Cesar |display-authors=etal |title=Generation and Nomenclature of Tessellations and Double-Layer Grids |journal=Journal of Structural Engineering |date=2012 |volume=138 |issue=7 |doi=10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0000532 |url=https://ascelibrary.org/doi/10.1061/%28ASCE%29ST.1943-541X.0000532}}</ref> 첫 번째, k-균일 타일링에서 이 표기법은 꼭짓점들 사이에 관계를 설명하지 않는다. 따라서 표기법만 가지고 평면을 채우는 건 불가능하다. 두 번째, 일부 테셀레이션은 표기법이 같다. 육각형의 상대적인 위치가 다르다는 것으로만 다른 테셀레이션이라는 걸 알 수 있는 것도 있다. 즉 이 표기법이 각 테셀레이션을 구별할 수 없다는 것이다.(각 테셀레이션에 대해 특이하지 않다)

이런 문제를 해결하기 위한 GomJau-Hogg의 표기법<ref>{{저널 인용|last1=Gomez-Jauregui |first1=Valentin |last2=Hogg |first2=Harrison|display-authors=etal |title=GomJau-Hogg’s Notation for Automatic Generation of k-Uniform Tessellations with ANTWERP v3.0 |journal=Symmetry |date=2021 |volume=13 |issue=12 |doi=10.3390/sym13122376 |url=https://doi.org/10.3390/sym13122376}}</ref>은 테셀레이션과 이중 격자(double-layer grids)의 세대(generation)와 표기법에 대해, 위의 연구와 표기법을 살짝 변형해 2012년 발표되었다.<ref name="Gomez-Jauregui 2012" /> 무료 온라인 앱 Antwerp v3.0은 GomJau-Hogg의 표기법으로 직접 알 수 있는 도형 배치 단계, 반복되는 [[회전 (기하학)|회전]]과 [[반사 (기하학)|반사]] 변환을 통해서 무수히 많은 세대의 정다각형 타일링을 표현할 수 있다.<ref>{{웹 인용|last1=Hogg |first1=Harrison |last2=Gomez-Jauregui |first2=Valentin |title=Antwerp 3.0 |url=https://antwerp.hogg.io/<}}</ref>

== 정규 타일링 ==
[[:en:Branko Grünbaum|Grünbaum]]과 Shephard(section 1.3)에 따르면, 정규 타일링은 타일링의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]이 ''기점''[[:en:Flag (geometry)|<sub>(영어판)</sub>]]에 [[추이적 작용|추이적으로 작용]]하는 것을 말한다. 여기서 기(旗, flag)는 한 [[꼭짓점]], 그 꼭짓점에 인접한 한 [[모서리]], 그 꼭짓점과 모서리에 동시에 인접한 한 [[면 (기하학)]] 3가지를 말한다. 다시 말해서 어떤 쌍의 ''기점''에도, 첫 번째에서 두 번째 기점으로의 대칭 작용이 있다는 것이다.

정규 타일링은 [[합동 (기하학)|합동]]인 정다각형을 통해 [[모서리 대 모서리 타일링|모서리 대 모서리]]로 만들어지는 타일링과 동치이다. [[정다포체의 목록|세 가지 정규 타일링]]은 [[정삼각형]] 6개, [[정사각형]] 4개, [[정육각형]] 3개가 한 꼭짓점에 모일 때 가능하다.

정규 타일링이 3개뿐이라는 것은 비교적 쉽게 증명할 수 있다. 정n각형의 한 내각의 크기는 <math>\frac{180^\circ (n-2)}{n}</math>인데, 정규 타일링은 모서리 대 모서리 타일링이고 한 종류의 정다각형만 사용하므로 한 내각의 크기가 360°의 약수여야 한다. n이 최소인 3일 때 60°이고 n값에 상관없이 180°보다 작으므로 가능한 경우는 {{sfrac|360°|6}}=60°, {{sfrac|360°|5}}=72°, {{sfrac|360°|4}}=90°, {{sfrac|360°|3}}=120°가 있다. 이 중 실제로 가능한 것은 60°의 정삼각형, 90°의 정사각형, 120°의 정육각형 뿐이다.<ref>{{웹 인용 |제목=다각형의 변신 (2부) 꽃담에 숨은 다각형의 원리 |url=https://www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?cate=10098&cate2=10176&cate3=10188&rscTpDscd=RTP10&grdCd=MGRD01&sortType=C&mngtPrdnYn=&menuType=t&itemSize=15&level=%5BDIF01%2C+DIF02%2C+DIF03%2C+DIF06%2C+DIF07%2C+DIF08%2C+DIF09%2C+DIF10%2C+DIF11%5D&type=S&sno=21246&historyYn=study&evtSsnCd= |웹사이트=[[EBS MATH]] > 중1 > 기하}}</ref>

{| class="wikitable"
|+ 정규 타일링 (3)
!colspan=2|p6m, *632
!p4m, *442
|- align=center
|[[파일:1-uniform n11.svg|200px]]
|[[파일:1-uniform n1.svg|200px]]
|[[파일:1-uniform n5.svg|200px]]
|- align=center
|[[파일:Vertex type 3-3-3-3-3-3.svg|100px]]<br/>C&R: [[정삼각형 타일링|3<sup>6</sup>]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=3%2Fm30%2Fr%28h2%29 3/m30/r(h2)]<br/>(''t'' = 1, ''e'' = 1)
|[[파일:Vertex type 6-6-6.svg|100px]]<br/>C&R: [[정육각형 타일링|6<sup>3</sup>]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=6%2Fm30%2Fr%28h1%29 6/m30/r(h1)]<br/>(''t'' = 1, ''e'' = 1)
|[[파일:Vertex type 4-4-4-4.svg|100px]]<br/>C&R: [[정사각형 타일링|4<sup>4</sup>]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=4%2Fm45%2Fr%28h1%29 4/m45/r(h1)]<br/>(''t'' = 1, ''e'' = 1)
|}

''C&R: Cundy & Rollet의 표기법'' <br/>
''GJ-H: GomJau-Hogg의 표기법''

== 준정규 타일링 ==
[[점추이]]는 임의의 한 쌍의 꼭짓점에 첫 번째에서 두 번째 꼭짓점으로 가는 [[대칭 작용]]이 있다는 것이다.<ref name="Critchlow 1969">{{서적 인용|last1=Critchlow |first1=K. |title=Order in Space: A Design Source Book, |date=1969 |publisher=Thames and Hudson |location=London |pages=60-61}}</ref>

기(flag)추이의 조건이 점추이 중 하나로 약해지면, 모서리 대 모서리라는 조건이 있을 때 8개의 타일링이 더 가능하다. 이를 ''아르키메데스'', ''[[고른 타일링|균일]]''(고른), ''준정규'' 타일링이라고 한다. 3<sup>4</sup>.6 (다듬은 정육각형) 타일링은 [[카이랄성 (수학)|카이랄성]]을 지녀서 두 거울상이 있다. 다른 나머지 정규 또는 준정규 타일링은 카이랄성이 없다.

{| class="wikitable"
|+ 고른 타일링 (8)
|- align=center
!colspan=6|p6m, *632
|- align=center valign=top
|[[파일:1-uniform n4.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 3-12-12.svg|150x150px|alt=]]<br/>C&R: [[깎은 정육각형 타일링|3.12<sup>2</sup>]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=12-3%2Fm30%2Fr%28h3%29 12-3/m30/r(h3)]<br/>(''t'' = 2, ''e'' = 2)<br/>''t''{6,3}
|[[파일:1-uniform n6.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 3-4-6-4.svg|100x100px|alt=]]<br/>C&R: [[마름모삼육각형 타일링|3.4.6.4]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=6-4-3%2Fm30%2Fr%28c2%29 6-4-3/m30/r(c2)]<br/>(''t'' = 3, ''e'' = 2)<br/>''rr''{3,6}
|[[파일:1-uniform n3.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 4-6-12.svg|150x150px|alt=]]<br/>C&R: [[깎은 삼육각형 타일링|4.6.12]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=12-6%2C4%2Fm30%2Fr%28c2%29 12-6,4/m30/r(c2)]<br/>(''t'' = 3, ''e'' = 3)<br/>''tr''{3,6}
|[[파일:1-uniform n7.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 3-6-3-6.svg|150x150px|alt=]]<br/>C&R: [[삼육각형 타일링|(3.6)<sup>2</sup>]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=6-3-6%2Fm30%2Fr%28v4%29 6-3-6/m30/r(v4)]<br/>(''t'' = 2, ''e'' = 1)<br/>''r''{6,3}
|- align=center valign=top
|[[파일:1-uniform n2.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 4-8-8.svg|150x150px|alt=]]<br/>C&R: [[깎은 정사각형 타일링|4.8<sup>2</sup>]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=8-4%2Fm90%2Fr%28h4%29 8-4/m90/r(h4)]<br/>(''t'' = 2, ''e'' = 2)<br/>''t''{4,4}
|[[파일:1-uniform n9.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 3-3-4-3-4.svg|150x150px|alt=]]<br/>C&R: [[다듬은 정사각형 타일링|3<sup>2</sup>.4.3.4]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=4-3-3%2C4%2Fr90%2Fr%28h2%29 4-3-3,4/r90/r(h2)]<br/>(''t'' = 2, ''e'' = 2)<br/>''s''{4,4}
|[[파일:1-uniform n8.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 3-3-3-4-4.svg|150x150px|alt=]]<br/>C&R: [[늘린 삼각형 타일링|3<sup>3</sup>.4<sup>2</sup>]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=4-3%2Fm90%2Fr%28h2%29 4-3/m90/r(h2)]<br/>(''t'' = 2, ''e'' = 3)<br/>{3,6}:''e''
|[[파일:1-uniform n10.svg|160px]]<br/><br/>[[파일:Vertex type 3-3-3-3-6.svg|150x150px|alt=]]<br/>C&R: [[다듬은 정육각형 타일링|3<sup>4</sup>.6]]<br/>GJ-H: [https://antwerp.hogg.io/?configuration=6-3-3%2Fr60%2Fr%28h5%29 6-3-3/r60/r(h5)]<br/>(''t'' = 3, ''e'' = 3)<br/>''sr''{3,6}
|}
''C&R: Cundy & Rollet의 표기법''<br/>
''GJ-H: GomJau-Hogg의 표기법''<br/>
<br/>

Grünbaum과 Shephard는 이런 타일링이 각 꼭짓점의 타일 배치가 같다는 부분적(local) 특성만 지키기 때문에 ''아르키메데스''라고 불렀다. 또 점특이의 전체적(global) 특성을 만족하기 때문에 ''균일''하다(고르다)고 했다. 평면에서는 같은 집합의 타일링을 말하지만, 다른 공간에서는 아르키메데스 타일링 중 고르지 않은 것도 있다.

== 같이 보기 ==
* [[오각형 테셀레이션]]
* [[정다면체]]와 [[준정다면체]]
* [[쌍곡평면의 고른 타일링]]
* [[고른 다면체]]
* [[고른 테셀레이션]]
* [[비트호프 기호]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{쪽매맞춤}}

[[분류:정다각형 타일링| ]]
[[분류:테셀레이션]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]