정다각형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''정다각형'''(正多角形, {{llang|en|regular polygon}})은 모든 각의 크기가 같으며 모든 변의 길이도 같은 [[다각형]]이다. 변의 개수가 같은 정다각형끼리는 모두 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 또한 정다각형은 변이 많을 수록 [[대각선]]의 길이의 종류도 다양해진다. [[정사각형]]과 [[정오각형]]은 모든 대각선의 길이가 같다가 [[정육각형]]부터는 대각선의 길이가 달라지기 시작한다. 또한 [[정칠각형]]부터는 두 개 이상의 [[다각성|별]]이 그려질 수 있으며, 모든 정다각형은 [[원에 내접하는 다각형|원에 내접할 수 있다]].

참고로 정n각형의 [[대각선]]의 길이의 종류는 n이 짝수일 때 <math>\frac{(n-2)}{2} = \frac{n}{2} - 1</math>이고, 홀수일 때에는 <math>\frac{(n-3)}{2} = \frac{(n-1)}{2} - 1</math>이다. 정<math>2n</math>각형의 대각선은 특정 꼭짓점으로부터 2칸 이상 떨어진 것부터 세어서 2, 3, ..., (n-2)÷2, n÷2, (n-2)÷2, ..., 3, 2이고, 정2n+1각형도 같은 방식으로 계산해보면 2, 3, ..., (n-3)÷2, (n-3)÷2, ..., 3, 2이 되기 때문이다. [[대각선]]은 [[다각형]]이나 [[다면체]]에서 서로 이웃해 있지 않은 두 [[꼭짓점 도형|꼭짓점]]을 이은 선분이다. 한 꼭짓점에 그을 수 있는 대각선은 이웃해 있는 두 각과 자기 자신을 뺀 n-3개인데, 여기에 n을 곱하면 모두 두 번 중복되기 때문에 2로 나누어서 개수를 구할 수 있다.

어떤 [[칠각별|다각형]]은 [[오각별|대각선을 모두 그으면 별모양]]이 된다. 특히 변의 개수가 소수 p개 일 때 p의 값이 커질수록 더 많은 별이 나온다. 정다각형은 모든 [[내각과 외각]]의 크기가 같고, n각형의 [[내각]]의 합은 180×(n-2) 라는 점을 이용하여 n각형의 내각의 합을 n으로 나누면 정n각형의 한 내각의 크기를 구할 수 있으며 180×(n-2)÷n이다. 또한 모든 다각형의 [[외각]]의 합은 언제나 360°이므로 정n각형의 한 외각의 크기는 360÷n의 값으로 구한다. 참고로 선분은 방향을 고려하지 않으면 길이로만 구분할 수 있기 때문에 길이가 서로 같은 길이를 가진 대각선은 묶어서 하나인 것으로 본다.

[[정삼각형]], [[정사각형]], [[정오각형]], [[정육각형]], [[정칠각형]], [[정팔각형]], [[정구각형]], [[십각형|정십각형]], [[십일각형|정십일각형]], [[십이각형|정십이각형]], [[십삼각형|정십삼각형]], [[십사각형|정십사각형]], [[십오각형|정십오각형]], [[십육각형|정십육각형]], [[십칠각형|정십칠각형]], [[십팔각형|정십팔각형]], [[십구각형|정십구각형]], [[이십각형|정이십각형]] 등 정다각형의 종류는 무수히 많다.

== 성질 ==
정<math>n</math>각형의 한 내각의 크기는 <math>180^\circ \cdot \left(1-\frac 2 n \right) = \frac {180^\circ \cdot (n-2)} n</math>이다. [[라디안|호도법]]으로는 <math>\pi \left( 1-\frac 2 n \right)</math> 라디안이며, 이것은 <math>\frac {n-2} {2n}</math> 바퀴를 도는 각이다.

임의의 정다각형의 꼭짓점은 모두 한 원 위에 있다. 다시 말해 정다각형은 모두 원에 내접하는 다각형([[외접원]]을 가진 다각형)이다. 그리고 모든 다각형의 외각의 합은 360°이고 정다각형은 [[외각]]의 크기도 모두 같으므로 한 [[외각 (기하학)|외각]]은 360°를 그 [[꼭짓점]] 개수로 나누어서 구한다.

정<math>n</math>각형은 <math>n</math>의 홀수인 소인수들이(즉, 2가 아닌 소인수들이) 모두 서로 다른 [[페르마 수|페르마 소수]]일 때에만 [[작도]]할 수 있다.

<math>n</math>이 3 이상의 정수일 때, 정<math>n</math>각형의 [[대각선]]의 수는 <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>이다. 다시 말해 정삼각형부터 차례로 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65, 77, 90, 104, 119, 135, 152, 170, 189, 209, 230, 252, 275... 개의 대각선을 갖는다{{OEIS|A000096}}. 이들 대각선에 의해 각 정다각형은 1, 4, 11, 24, ... 개의 영역으로 나뉜다{{OEIS|A007678}}.

== 넓이 ==
정<math>n</math>각형의 넓이는
:<math>A=\frac{n}{4} \cot (\frac {\pi} {n}) t^2</math>
이다. 여기서 t는 한 변의 길이이다. 이 식은 정다각형의 넓이는 둘레의 반과 [[변심거리]](중심으로부터 한 변에 내린 수선의 길이. 내접원의 반지름과 같다)의 곱과 같다는 것을 말해 준다. 정다각형의 [[둘레]] 즉 [[넓이]]를 잴 때에는 한 변의 길이를 변의 수만큼 몇 [[배수|배]]하면 된다.

<math>t=1</math> 일 때 위 식은
:<math>A={\frac{n}{4}} \cot \frac \pi n</math>
와 같이 간단히 할 수 있으며 이것을 가지고 <math>t=1</math>일 때 각각의 정다각형의 넓이를 구해 보면 다음과 같다.
[[파일:Apothem of hexagon.svg|섬네일|오른쪽|정육각형의 변심거리(초록색 선분)]]
{| class="wikitable"
!<math>n</math>!!참값!![[근삿값]]
|- align="right"
|3||&nbsp;&nbsp;<math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math>||0.433
|- align="right"
|4||&nbsp;&nbsp;1||1.000
|- align="right"
|5||&nbsp;&nbsp;<math>\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}</math>||1.720
|- align="right"
|6||&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3 \sqrt{3}}{2}</math>||2.598
|- align="right"
|7||&nbsp;&nbsp;||3.634
|- align="right"
|8||&nbsp;&nbsp;<math>2 + 2 \sqrt{2}</math>||4.828
|- align="right"
|9||&nbsp;&nbsp;||6.182
|- align="right"
|10||&nbsp;&nbsp;<math>\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||7.694
|- align="right"
|11||&nbsp;&nbsp;||9.366
|- align="right"
|12||&nbsp;&nbsp;<math>6+3\sqrt{3}</math>||11.196
|- align="right"
|13||&nbsp;&nbsp;||13.186
|- align="right"
|14||&nbsp;&nbsp;||15.335
|- align="right"
|15||&nbsp;&nbsp;||17.642
|- align="right"
|16||&nbsp;&nbsp;||20.109
|- align="right"
|17||&nbsp;&nbsp;||22.735
|- align="right"
|18||&nbsp;&nbsp;||25.521
|- align="right"
|19||&nbsp;&nbsp;||28.465
|- align="right"
|20||&nbsp;&nbsp;||31.569
|- align="right"
|100||&nbsp;&nbsp;||795.513
|- align="right"
|1000||&nbsp;&nbsp;||79577.210
|- align="right"
|10000||&nbsp;&nbsp;||7957746.893
|}

이 넓이들은 각각 둘레의 길이가 같은 원의 넓이에 비해 약 0.26 만큼씩 작다. <math>n < 8</math> 인 경우 그 차이는 약간 더 크고, 그 차이는 <math>n</math> 이 커짐에 따라 줄어들며, 극한값은 π/12이다.

=== 원에 내접하는 정다각형의 넓이 ===
반지름이 <math>r</math>인 원에 내접하는 정<math>n</math>각형의 넓이 <math>S_n</math>은
:<math>S_n = r^2 n \sin (\frac{\pi}{n}) \cos (\frac{\pi}{n})</math>이다.
또한, <math>\lim_{n \to \infty} n \sin (\frac{\pi}{n}) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin (\pi t)}{t} = \pi</math>이므로 정<math>n</math>각형의 변 수가 무한으로 커질 때 넓이는 <math>\lim_{n \to \infty}S_n = r^2 \pi</math>가 되어 원의 넓이와 같아짐을 알 수 있다.

== 대칭성 ==
정<math>n</math>각형의 [[대칭변환군]]은 위수(order) <math>2n</math> 인 [[정이면체군]] <math>D_n (D_2, D_3, D_4, D_5, D_6, D_7, D_8, D_9\cdots)</math>이다. <math>D_n</math> 은 <math>C_n</math>의 회전이동과 <math>n</math> 개의 축에 대한 선대칭이동으로 이루어진다. 다시 말해 정<math>n</math>각형은 위수 <math>n</math> 인 회전 대칭성이 있으며, <math>n</math> 개의 축에 대해 선대칭이다. <math>n</math> 이 짝수이면 대칭축 중에서 반은 마주보는 두 꼭짓점을 지나는 직선이고 나머지 반은 마주보는 변들의 중점을 지나는 직선이다. <math>n</math> 이 홀수일 때는 대칭축은 모두 한 꼭짓점과 그것과 마주보는 변의 중점을 지나는 직선이다.

== 볼록하지 않은 정다각형 ==
정다각형의 개념을 확장하여 [[별 다각형]]을 포함하도록 하기도 한다. 별 다각형은 사실 [[볼록 다각형|볼록]]하지 않을 뿐 아니라 [[단순하지 않은 다각형|단순]]하지 않은 것이므로 이것을 "[[오목 정다각형]]"이라고 말할 수는 없다([[단순 다각형|단순하면서]] [[볼록 다각형|볼록]]하지 않은 다각형을 [[오목 다각형|오목한 다각형]] 이라고 하기 때문에). 별 다각형의 대표적인 예인 [[오각별]]은 [[정오각형]]의 꼭짓점들을 (바로 이웃한 것과 연결하는 것이 아니라) 하나씩 걸러 변으로 연결함으로써 만들어진다.

== 다면체 ==
모든 면이 정다각형이고, 어떤 두 꼭짓점을 잡더라도 그 중 하나를 다른 하나로 보내는 그 자신 위의 [[합동변환]]이 존재하는 [[다면체]]<ref>다면체는 평면이 여럿으로 구성된 삼차원 입체이다. 다면체가 모든 면이 정다각형일 이유가 없다. 수학을 공부했다는 이유만으로 우리 말을 바꾸어서는 안 된다. 준정다면체라고 쓰는 말도 있다.</ref>를 [[고른 다면체]]라 한다.

== 같이 보기 ==
* [[정다각형 타일 덮기|정다각형 타일]]
* [[현 (기하학)|현]]

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html Mathworld: Regular Polygon]
* [http://www.mathopenref.com/polygonregular.html Regular Polygon description] With interactive animation
* [http://www.mathopenref.com/polygonincircle.html Incircle of a Regular Polygon] With interactive animation
* [http://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html Area of a Regular Polygon] Three different formulae, with interactive animation

{{전거 통제}}

[[분류:다각형의 유형]]