정규 확대 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[체론]]에서 '''정규 확대'''(正規擴大, {{llang|en|normal extension}})는 일련의 다항식들의 [[분해체]]인 [[대수적 확대]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 [[대수적 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 '''정규 확대'''라고 한다.
* <math>K[x]</math>의 [[기약 다항식]] <math>p(x)</math>가 <math>L</math>에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, <math>p(x)</math>는 <math>L[x]</math>에서 완전히 인수분해된다. 즉, <math>p(x)=a\prod_{i=1}^n(x-b_i)</math> (<math>a,b_i\in L</math>)의 꼴로 나타낼 수 있다.
* <math>L/K</math>는 일련의 다항식들의 집합 <math>P\subset K[x]</math>의 [[분해체]]와 (<math>K</math>의 확대로서) [[동형]]이다.
* 모든 매장 <math>L\to\bar K</math>는 <math>L</math>의 [[자기 동형 사상]]으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 <math>\iota_{KL}\colon K\hookrightarrow L</math>로 쓰자. 또한, <math>L</math>은 [[대수적 확대]]이므로, <math>K</math>의 [[대수적 폐포]] <math>\iota_{K\bar K}\colon K\hookrightarrow\bar K</math>로 가는 매장 <math>\iota_{L\bar K}\colon L\hookrightarrow\bar K</math>이 존재하며, 또한 <math>\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K}</math>이도록 잡을 수 있다. (이는 [[초른 보조정리]]를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 <math>\tilde\iota_{L\bar K}\colon L\hookrightarrow\bar K</math>에 대하여, <math>\tilde\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K}</math>라면 <math>\iota_{L\bar K}(L)=\tilde\iota_{L\bar K}(L)\subset\bar K</math>이다.
{{증명}}
첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의 <math>a\in L</math>에 대하여, <math>p_a\in K[x]</math>가 <math>a</math>의 <math>K</math>에 대한 [[최소 다항식]]이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라 <math>L</math>은 모든 <math>p_a</math>의 모든 근을 포함한다. 즉, <math>L</math>은 <math>\{p_a\colon a\in L\}</math>의 <math>K</math>에 대한 어떤 [[분해체]]를 포함한다. 임의의 <math>a\in L</math>은 <math>p_a</math>의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉, <math>L</math>은 <math>\{p_a\colon a\in L\}</math>의 분해체를 이룬다.

둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.
:<math>\iota_{KL}\colon K\to L</math>
:<math>\iota_{K\bar K}\colon K\to\bar K</math>
:<math>\iota_{L\bar K}\colon L\to\bar K</math>
:<math>\tilde\iota_{L\bar K}\colon L\to\bar K</math>
:<math>\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\tilde\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K}</math>
가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상 <math>K\subseteq L\subseteq\bar K</math>이며 <math>\iota_{KL}</math>, <math>\iota_{K\bar K}</math>, <math>\iota_{L\bar K}</math>가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건 <math>\tilde\iota_{L\bar K}\circ\iota_{KL}=\iota_{K\bar K}</math>는 <math>\tilde\iota_{L\bar K}|_K=\operatorname{id}_K</math>가 된다. <math>S\subseteq L</math>이 <math>P</math> 속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라
:<math>L=K(S)</math>
:<math>\tilde\iota_{L\bar K}(L)=K(\tilde\iota_{L\bar K}(S))</math>
이다. 따라서, <math>\tilde\iota_{L\bar K}(L)=L</math>임을 보이려면 <math>\tilde\iota_{L\bar K}(S)=S</math>임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식
:<math>p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in P</math>
가 주어졌다고 하자. 그 <math>L[x]</math>에서의 [[인수 분해]]가
:<math>p(x)=a_n(x-b_1)\cdots(x-b_n)</math>
이라고 하자. 이는 [[기본 대칭 다항식]]들이 등장하는 일련의 등식
:<math>a_0=(-1)^na_nb_1\cdots b_n</math>
:<math>a_1=(-1)^{n-1}a_n(b_2\cdots b_n+\cdots+b_1\cdots b_{n-1})</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>a_n=a_n</math>
과 [[동치]]이다. 여기에 매장 <math>\tilde\iota_{L\bar K}\colon L\to\bar K</math>를 가하면 <math>b_i</math>가 <math>\tilde\iota_{L\bar K}(b_i)</math>로 대체된 등식들을 얻는다.
:<math>a_0=(-1)^na_n\tilde\iota_{L\bar K}(b_1)\cdots\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)</math>
:<math>a_1=(-1)^{n-1}a_n(\tilde\iota_{L\bar K}(b_2)\cdots\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)+\cdots+\tilde\iota_{L\bar K}(b_1)\cdots\tilde\iota_{L\bar K}(b_{n-1}))</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>a_n=a_n</math>
<math>a_0,a_1,\dots,a_n</math>은 <math>K</math>의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉, <math>p(x)</math>의 <math>\bar K</math>에서의 인수 분해는
:<math>p(x)=a_n(x-\tilde\iota_{L\bar K}(b_1))\cdots(x-\tilde\iota_{L\bar K}(b_n))</math>
이다. <math>\bar K[x]</math>는 [[유일 인수 분해 정역]]이므로, <math>p(x)</math>의 두 인수 분해는 일치한다. 즉, <math>\{b_1,\dots,b_n\}</math>과 <math>\{\tilde\iota_{L\bar K}(b_1),\dots,\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)\}</math>은 [[중복집합]]으로서 같고, 특히 집합으로서 같다.
그런데 <math>S</math>는 모든 <math>p</math>들에 대한 <math>\{b_1,\dots,b_n\}</math>들의 합집합이며, <math>\tilde\iota_{L\bar K}(S)</math>는 모든 <math>p</math>들에 대한 <math>\{\tilde\iota_{L\bar K}(b_1),\dots,\tilde\iota_{L\bar K}(b_n)\}</math>들의 합집합이다. 따라서, <math>S=\tilde\iota_{L\bar K}(S)</math>이다.

셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. <math>K</math>를 [[부분체]]로 포함하는 <math>L</math>을 부분체로 포함하는 <math>K</math>의 [[대수적 폐포]] <math>K\subseteq L\subseteq\bar K</math>를 잡자. [[기약 다항식]] <math>p\in K[x]</math> 및 <math>p</math>의 근 <math>a\in L</math> 및 <math>p</math>의 근 <math>b\in\bar K</math>가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>K(a)\to K(b)</math>
:<math>f(a)\mapsto f(b)\qquad(\forall f\in K[x])</math>
만약 <math>f(a)=g(a)</math>라면, <math>(f-g)(a)=0</math>이므로 <math>p(x)\mid f(x)-g(x)</math>이며, 따라서 <math>f(b)=g(b)</math>이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약 <math>f(b)=g(b)</math>라면 <math>f(a)=g(a)</math>이다. 즉, 이 함수는 [[단사 함수]]이다. 이 함수는 자명하게 [[환 준동형]]이다. 또한, 이는 자명하게 [[전사 함수]]이며, <math>K</math>의 원소를 움직이지 않으므로, [[체의 확대]] <math>K(a)/K</math>와 <math>K(b)/K</math> 사이의 [[동형 사상]]을 이룬다. <math>L/K(a)</math>는 [[대수적 확대]]이며, <math>\bar K</math>는 <math>K(b)</math>의 [[대수적 폐포]]를 이루므로, 이 [[동형 사상]]을 확장하는 체의 매장
:<math>\iota\colon L\hookrightarrow\bar K</math>
:<math>\iota|_K=\operatorname{id}_K</math>
:<math>\iota\colon a\mapsto b</math>
가 존재한다. 이는 [[초른 보조정리]]을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라, <math>\iota(L)=L</math>이며, 특히 <math>b=\iota(a)\in\iota(L)=L</math>이다. 이에 따라, <math>L</math>은 <math>p</math>의 모든 근을 포함하며, <math>p</math>는 <math>L</math>에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다.
{{증명 끝}}
[[대수적 확대]] <math>L/K</math>의 '''정규 폐포'''(正規閉包, {{llang|en|normal closure}})는 다음 두 조건을 만족시키는 [[체의 확대]] <math>N/L</math>이다.
* <math>N/K</math>는 정규 확대이다.
* 임의의 중간체 <math>L\subseteq M\subseteq N</math>에 대하여, 만약 <math>M/K</math>가 정규 확대라면, <math>M=N</math>이다.
임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 [[동형]] 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 <math>a\in L</math>에 대하여 <math>p_a</math>가 <math>a</math>의 <math>L/K</math>에서의 [[최소 다항식]]이라고 하였을 때, <math>\{p_a\colon a\in L\}\subseteq K[x]</math>의 [[분해체]]는 <math>L/K</math>의 정규 폐포를 이룬다. 또한, [[대수적 폐포]] <math>\bar K/L/K</math>가 주어졌을 때, <math>\bar K</math> 속 <math>L/K</math>의 정규 폐포는 다음과 같다.
:<math>N=K\left(\bigcup_{\sigma\in\hom(L,\bar K)}^{\sigma|_K=\operatorname{id}_K}\sigma(L)\right)\subseteq\bar K</math>
여기서
:<math>K\left(\bigcup_{i\in I}K_i\right)=\left\{\frac{a_1+\cdots+a_m}{b_1+\cdots+b_n}\colon a_1\in K_{i_1},\dots,a_m\in K_{i_m},\;b_1\in K_{j_1},\dots,b_n\in K_{j_n},\;i_1,\dots,i_m,j_1,\dots,j_n\in I\right\}</math>
는 주어진 체 <math>L/K_i/K</math>들을 포함하는 최소의 체이다.

== 분류 ==
임의의 정규 확대 <math>L/K</math>에 대하여,
:<math>M=\begin{cases}
K & \operatorname{char}K=0 \\
\{a\in L|\exists n\in\mathbb N\colon a^{p^n}\in K\} & \operatorname{char}K=p>0
\end{cases}
</math>
가 <math>L/K</math>의 최대 [[완전 비분해 확대|완전 비분해]] 부분 확대라고 하자. 그렇다면, <math>L/M</math>은 [[갈루아 확대]]이다. (반대로, [[완전 비분해 확대]]의 [[갈루아 확대]]는 항상 정규 확대이다.)

== 성질 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 유한 차수 [[대수적 확대|대수적]] [[분해 가능 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>L/K</math>는 정규 확대이다.
* <math>L</math>은 어떤 [[기약 다항식]] <math>p\in K[x]</math>의 [[분해체]] <math>K[x]/(p)</math>와 동형이다.

[[대수적 확대]] <math>L/K</math>의 정규 폐포 <math>N/L</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>L/K</math>가 [[유한 확대]]라면, <math>N/K</math> 역시 유한 확대이다.
* <math>L/K</math>가 [[분해 가능 확대]]라면, <math>N/K</math>은 [[갈루아 확대]]이다. 이 경우 <math>N/L</math>을 <math>L/K</math>의 '''갈루아 폐포'''({{llang|en|Galois closure}})라고 한다.

[[체의 확대]]의 탑 <math>M/L/K</math>에 대하여, 만약 <math>M/K</math>가 정규 확대라면, <math>M/L</math> 역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 <math>M\supseteq L,L'\supseteq K</math>에 대하여, 만약 <math>L/K</math>가 정규 확대라면, <math>K(L\cup L')/L'</math> 역시 정규 확대이다. 체의 확대 <math>M/K</math>의 부분 확대 <math>M\supseteq L_i\supseteq K</math>(<math>i\in I</math>)들에 대하여, 만약 모든 <math>L_i/K</math>가 정규 확대라면, <math>\textstyle K\left(\bigcup_{i\in I}L_i\right)/K</math>와 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}L_i/K</math> 역시 정규 확대이다. 정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, [[대수적 확대]] <math>\mathbb Q(\sqrt[4]2)/\mathbb Q</math>는 두 번의 정규 확대
:<math>\mathbb Q(\sqrt[4]2)/\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q</math>
로 얻어지지만, <math>x^4-2</math>의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다.

== 예 ==
[[대수적 확대]] <math>\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q</math>는 정규 확대이다.

[[대수적 확대]] <math>\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q</math>는 정규 확대가 아니다. <math>\mathbb Q[x]</math>의 기약 다항식 <math>x^3-2</math>는 <math>\mathbb Q(\sqrt[3]2)</math>에서
:<math>x^3-2=(x-\sqrt[3]2)\left(x^2+\sqrt[3]2x+(\sqrt[3]2)^2\right)</math>
이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

모든 [[갈루아 확대]]는 정규 확대이다. 모든 [[순수 비분해 확대]]는 정규 확대이다.

== 같이 보기 ==
* [[갈루아 확대]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3판|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Normal extension}}
* {{매스월드|id=NormalExtension|title=Normal extension}}

[[분류:체론]]