정규 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''정규 행렬'''(正規行列, {{llang|en|normal matrix}})은 스스로의 [[켤레 전치]]와 가환하는 [[정사각 행렬]]이다.<ref name="Anton">Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》, 범한서적주식회사, 2006</ref><ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>

== 정의 ==
복소수 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>N</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>N</math>을 '''정규 행렬'''이라고 한다.<ref name="Anton" />{{rp|664–665}}
* <math>NN^\dagger=N^\dagger N</math> (<math>N^\dagger</math>는 [[켤레 전치]]).
** 실수 행렬의 경우 이 조건은 <math>NN^\top=N^\top N</math>과 [[동치]]이다 (<math>N^\top</math>은 [[전치 행렬]]).
* (유니터리 대각화 가능성) <math>U^{-1}NU</math>가 [[대각 행렬]]이 되는 [[유니터리 행렬]] <math>U\in\operatorname U(n)</math>이 존재한다.
** 특히, 정규 행렬의 [[고유 공간]]들은 서로 [[직교]]한다.
** 이 조건은 실수 행렬에서 직교 대각화 가능성으로 대체할 수 없다. (예를 들어, 0도 또는 180도가 아닌 회전 행렬은 실수 [[직교 행렬]]이며, 특히 정규 행렬이지만, 실수 [[고윳값]]을 가지지 않는다.)

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
정규 행렬 <math>N</math> 및 자연수 <math>k\in\mathbb N</math> 및 복소수 <math>a\in\mathbb C</math>에 대하여, <math>aN</math>과 <math>N^k</math> 역시 정규 행렬이다. [[가역 행렬|가역]] 정규 행렬 <math>N</math>에 대하여, <math>N^{-1}</math> 역시 정규 행렬이다. 그러나 두 정규 행렬의 합과 곱은 정규 행렬일 필요가 없다.

=== 충분 조건 ===
다음 복소수 정사각 행렬들은 모두 정규 행렬이다.<ref name="Anton" />{{rp|664–665}}
* [[에르미트 행렬]]
* [[반에르미트 행렬]]
* [[유니터리 행렬]]
* [[대각 행렬]]

복소수 정사각 행렬에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|315–316, §8.5, Theorem 20}}
* [[상삼각 행렬|상삼각]] 정규 행렬이다.
* [[하삼각 행렬|하삼각]] 정규 행렬이다.
* [[대각 행렬]]이다.

=== 유리 표준형 ===
복소수 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>N</math>이 정규 행렬이라면, <math>U^{-1}NU</math>가 [[유리 표준형]]이 되는 [[유니터리 행렬]] <math>U\in\operatorname U(n)</math>이 존재한다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|356, §9.6, Corollary}} 만약 추가로 <math>N</math>의 모든 성분이 실수일 경우, <math>Q^{-1}NQ</math>가 [[유리 표준형]]이 되는 실수 [[직교 행렬]] <math>Q\in\operatorname O(n;\mathbb R)</math>가 존재한다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|356, §9.6, Corollary}}

== 같이 보기 ==
* [[정규 작용소]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Normal matrix}}
* {{매스월드|id=NormalMatrix|제목=Normal matrix}}

[[분류:행렬]]