정규 함수 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''정규 함수'''(正規函數, {{llang|en|normal function}})는 그 도함수를 취할 수 있는, [[정의역]]과 [[공역]]이 [[순서수]]의 [[모임 (집합론)|모임]]인 [[연속 함수|연속]] [[증가 함수]]이다. 이를 사용하여 매우 큰 [[가산 집합|가산]] [[순서수]]들을 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
집합론적 문제를 피하기 위하여, [[비가산]] [[도달 불가능한 기수]] <math>\kappa</math>를 고르자. (만약 [[모임 (집합론)|모임]] 이론을 사용한다면 <math>\kappa=\operatorname{Ord}</math>로 놓을 수 있다. 여기서 <math>\operatorname{Ord}</math>는 모든 [[순서수]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다.)

[[자기 함수]]
:<math>f\colon\kappa\to\kappa</math>
가 다음 조건을 만족시킨다면 '''정규 함수'''라고 한다.
* [[순증가 함수]]이다. 즉, 임의의 두 [[순서수]] <math>\alpha<\beta<\kappa</math>에 대하여, <math>f(\alpha)<f(\beta)</math>이다.
* [[순서 위상]]에 대하여 [[연속 함수]]이다. 즉, [[극한 순서수]] <math>\alpha<\kappa</math>에 대하여, <math>f(\alpha)=\textstyle\sup_{\beta<\alpha}f(\beta)</math>이다.

== 성질 ==
정규 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.
* 임의의 <math>\alpha<\kappa</math>에 대하여, <math>f(\alpha)\ge\alpha</math>
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">[[귀류법]]을 사용하자.
:<math>\alpha=\min\{\beta<\kappa\colon\beta>f(\beta)\}</math>
라면 <math>\alpha>f(\alpha)>f(f(\alpha))</math>이자 <math>f(\alpha)\in\{\beta<\kappa\colon\beta>f(\beta)\}</math>이므로 모순이다.</div></div>
* 임의의 순서수들의 [[집합]] <math>S\subseteq\kappa</math>에 대하여, <math>\textstyle f(\sup S)=\sup_{s\in S}f(s)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>f</math>가 [[증가 함수]]이므로 <math>\textstyle f(\sup S)\ge\sup_{s\in S}f(s)</math>이다. 따라서 <math>\textstyle f(\sup S)\le\sup_{s\in S}f(s)</math>를 증명하면 족하다. 반대로, <math>\sigma=\sup S</math>에 대하여,
* 만약 <math>\sigma=\varsigma+1</math>이라면, <math>\sigma\in S</math>이며, 따라서 <math>f(\sup S)=f(\sigma)\ge \sigma=f(\sup S)</math>이다.
* 만약 <math>\nexists\varsigma\colon\sigma=\varsigma+1</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>\textstyle f(\sup S)=\sup_{\alpha<\sup S}f(\alpha)\ge\sup_{\alpha\in S}f(\alpha)</math>이다.
</div></div>

=== 도함수 ===
'''베블런 고정점 정리'''(Veblen固定點定理, {{llang|en|Veblen fixed-point theorem}})에 따르면, <math>f</math>의 [[고정점]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]의 상한은 <math>\kappa</math>이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 순서수 <math>\alpha<\kappa</math>에 대하여,
:<math>\beta=\sup\{\alpha,f(\alpha),f(f(\alpha)),\dots\}</math>
를 정의하면,
:<math>f(\beta)=f\left(\sup\{\alpha,f(\alpha),f(f(\alpha)),\dots\}\right)=\sup\{f(\alpha),f(f(\alpha)),\dots\}=\beta</math>
이다.
</div></div>
이에 따라, 정규 함수 <math>f</math>의 '''도함수'''(導函數, {{llang|en|derivative}}) <math>f'\colon\kappa\to\kappa</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>f'(\alpha)</math>는 <math>f</math>의 <math>\alpha</math>번째 [[고정점]]이다.
정규 함수의 도함수 역시 정규 함수이다. 따라서, 이를 반복하여 모든 유한 순서수 <math>n</math>에 대하여 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>f^{(\alpha+1)}=(f^{(\alpha)})'</math>
보다 일반적으로, 임의의 양의 [[극한 순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, 그보다 작은 차수의 도함수들의 공통된 고정점들의 집합
:<math>\bigcap_{\beta<\alpha}\left\{\gamma<\kappa\colon f^{(\beta)}(\gamma)=\gamma\right\}</math>
은 <math>\kappa</math>와 순서 동형이며, 따라서 이를 열거하여 <math>f^{(\alpha)}(\gamma)</math>를 위 공통 고정점 집합의 <math>\alpha</math>번째 원소로 정의할 수 있다.

이와 같이, <math>f</math>의 초한 도함수들을 모두 정의할 수 있다. 이 초한 함수열을 <math>f</math>의 '''베블런 위계'''({{llang|en|Veblen hierarchy}})라고 한다.

특히, 순서수 <math>\delta</math>에 대하여 <math>\delta</math>진 베블런 위계({{llang|en|base-<math>\delta</math> Veblen hierarchy}})란 정규 함수 <math>\alpha\mapsto\delta^\alpha</math>에 대한 베블런 위계를 뜻하며, 정규 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면 <math>\alpha\mapsto\omega^\alpha</math>의 베블런 위계를 뜻한다.

== 예 ==
다음과 같은 함수들은 정규 함수이다.
* 임의의 순서수 <math>\beta<\kappa</math>에 대하여, <math>\alpha\mapsto\beta+\alpha</math> (그러나 <math>\alpha\mapsto\alpha+1</math>은 정규 함수가 아니다)
* 임의의 순서수 <math>1\le\beta<\kappa</math>에 대하여, <math>\alpha\mapsto\beta\cdot\alpha</math>
* 임의의 순서수 <math>2\le\beta<\kappa</math>에 대하여, <math>\alpha\mapsto\beta^\alpha</math>
* [[알레프 수]] <math>\alpha\mapsto\aleph_\alpha</math>
* [[베트 수]] <math>\alpha\mapsto\beth_\alpha</math>
(마지막 두 예는 [[도달 불가능한 기수]]는 알레프 함수와 베트 함수의 [[고정점]]이기 때문이다.<ref>{{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | 저자링크=가나모리 아키히로 | 날짜=2003 | 출판사=Springer-Verlag | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}</ref>{{rp|16, 20}}<ref>{{서적 인용|제목=Introduction to cardinal arithmetic|연도=1999|url=https://archive.org/details/introductiontoca0000holz|이름=Michael|성=Holz|이름2=Karsten |성2=Steffens|이름3=E.|성3=Weitz|언어=en}}</ref>{{rp|78, Exercise 1.7.7(b)}})

== 역사 ==
정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 [[오즈월드 베블런]]이 1908년에 도입하였다.<ref name="Veblen">{{저널 인용|제목=Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals|jstor=1988605|doi=10.1090/S0002-9947-1908-1500814-9|저널=Transactions of the American Mathematical Society|이름=Oswald|성=Veblen|저자링크=오즈월드 베블런|권=9|날짜=1908-07|쪽=280–292|issn=0002-9947|언어=en}}</ref> 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"({{llang|en|continuous increasing function}})라고 불렀다.<ref name="Veblen"/>{{rp|281, §1}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Constructive ordinal notation systems|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1985/0025570x.di021135.02p0002y.pdf|이름=Frederick S.|성=Glass|저널=Mathematics Magazine|doi=10.2307/2689658|jstor=2689658|권=57|호=3|날짜=1984-05|쪽=131–141|언어=en|확인날짜=2016-07-20|보존url=https://web.archive.org/web/20150905122815/http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1985/0025570x.di021135.02p0002y.pdf|보존날짜=2015-09-05|url-status=dead}}
* {{저널 인용 |jstor=2272243 |pages=439–459 |last1=Miller |first1=Larry W. |title=Normal functions and constructive ordinal notations |volume=41 |issue=2 |journal=The Journal of Symbolic Logic |날짜=1976 |doi=10.2307/2272243 | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목=What’s so special about Kruskal’s theorem and the ordinal Γ<sub>0</sub>? A survey of some results in proof theory|doi=10.1016/0168-0072(91)90022-E|이름=Jean H.|성=Gallier|저널=Annals of Pure and Applied Logic|권=53|호=3|날짜=1991-09-19|쪽=199–260|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://johncarlosbaez.wordpress.com/2016/07/07/large-countable-ordinals-part-3/|제목=Large countable ordinals (part 3)|웹사이트=Azimuth|이름=John Carlos|성=Baez|날짜=2016-07-07|언어=en}}

[[분류:집합론]]