정규 직교 기저 문서 원본 보기

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[[힐베르트 공간]] 이론에서, '''정규 직교 기저'''(正規直交基底, {{llang|en|orthonormal basis}})는 주어진 힐베르트 공간의 원소를 [[르베그 공간|ℓ<sup>2</sup> 수렴]] 계수의 [[가산 집합|가산]] [[선형 결합]]으로 나타낼 수 있는 기저 벡터들의 집합이다. 집합으로써 나타내진다.

== 정의 ==
=== 위상 벡터 공간 ===
[[위상체]] <math>K</math> 위의 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>B\subseteq V</math>의 '''[[선형 생성]]'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Span}B=\left\{a_1e_1+\cdots+a_ne_n\colon n\in\mathbb N,\;a_1,a_2,\dots,a_n\in K,\;e_1,e_2,\dots,e_n\in B\right\}</math>
만약 [[선형 생성]] <math>\operatorname{Span}B</math>가 <math>V</math>의 [[조밀 집합]]이라면, <math>B</math>를 <math>V</math>의 '''총집합'''({{llang|en|total set}})이라고 한다.

<math>V</math>의 총집합들의 집합은 [[부분 집합]] 관계에 따라서 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 이에 대한 [[극소 원소]] (즉, 임의의 <math>b\in B</math>에 대하여 <math>B\setminus\{b\}</math>가 총집합이 아닌 총집합 <math>B</math>)를 <math>V</math>의 '''위상 기저'''({{llang|en|topological basis}})라고 한다.

=== 힐베르트 공간 ===
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 총집합 <math>B\subseteq\mathcal H</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>B</math>를 <math>\mathcal H</math>의 '''정규 직교 기저'''라고 한다.
* (정규·직교성) 모든 <math>e,e'\in B</math>에 대하여, <math>\langle e,e'\rangle=\delta_{e,e'}</math>
여기서
:<math>\delta_{e,e'}=\begin{cases}1&e=e'\\0&e\ne e'\end{cases}</math>
는 [[크로네커 델타]]이다.

[[바나흐 공간]]의 [[샤우데르 기저]]와 달리, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 [[전순서]]를 갖지 않으며, [[가산 집합]]일 필요도 없다. [[벡터 공간]]의 [[기저 (선형대수학)|하멜 기저]]는 모든 원소를 유한 개의 기저 벡터들의 [[선형 결합]]으로 나타내지만, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 임의의 원소를 유한 또는 [[가산 무한]] 개의 기저 벡터들의 [[선형 결합]]으로 나타낸다. 다만, 힐베르트 공간이 유한 차원일 경우, 힐베르트 기저·[[샤우데르 기저]]·[[기저 (선형대수학)|하멜 기저]]의 개념은 서로 일치한다.

== 성질 ==
모든 [[힐베르트 공간]]은 정규 직교 기저를 가진다. (이는 [[초른 보조정리]]와 [[그람-슈미트 과정]]을 사용하여 보일 수 있다.)

주어진 [[힐베르트 공간]]의 서로 다른 정규 직교 기저들의 [[집합의 크기|크기]]는 모두 서로 같다. 힐베르트 공간의 정규 직교 기저의 크기를 힐베르트 공간의 '''힐베르트 차원'''({{llang|en|Hilbert dimension}})이라고 한다. 이는 일반적으로 하멜 차원보다 같거나 작다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Basis}}
* {{eom|title=Orthonormal system}}
* {{eom|title=Orthogonal basis}}
* {{매스월드|id=HilbertBasis|title=Hilbert basis}}
* {{매스월드|id=OrthogonalBasis|title=Orthogonal basis}}
* {{매스월드|id=OrthonormalBasis|title=Orthonormal basis}}
* {{매스월드|id=CompleteOrthogonalSystem|title=Complete orthogonal system}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/25/hilbert-spaces-and-dagger-categories/|제목=Hilbert spaces (and dagger categories)|이름=Qiauchu|성=Yuan|날짜=2012-06-25|웹사이트=Annoying Precision|언어=en|확인날짜=2016-06-06|보존url=https://web.archive.org/web/20161013035009/https://qchu.wordpress.com/2012/06/25/hilbert-spaces-and-dagger-categories/|보존날짜=2016-10-13|url-status=dead}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:힐베르트 공간]]
[[분류:푸리에 해석학]]