정규 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
| 이름 = 정규 분포
| 종류 = 밀도
| pdf 그림 = Normal Distribution PDF.svg
| pdf 그림설명 = 정규분포의 확률밀도함수
| pdf 그림해설 = 붉은 색은 표준정규분포
| cdf 그림 = Normal Distribution CDF.svg
| cdf 그림설명 = 정규분포의 누적밀도함수
| cdf 그림해설 = 확률밀도함수의 색과 같은 색
| 매개변수 = <math>\mu</math> 평균<br /><math>\sigma^2>0</math> 분산
| 받침 = <math>x \in (-\infty;+\infty)\!</math>
| pdf = <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!</math>
| cdf = <math>\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!</math>
| 기댓값 = <math>\mu</math>
| 중앙값 = <math>\mu</math>
| 최빈값 = <math>\mu</math>
| 분산 = <math>\sigma^2</math>
| 왜도 = 0
| 첨도 = 0
| 엔트로피 = <math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!</math>
| mgf = <math>M_X(t) = \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
| 특성함수 = <math>\phi_X(t) = \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>|
}}
{{확률론}}
[[확률론]]과 [[통계학]]에서 '''정규 분포'''(正規 分布, {{llang|en|normal distribution}}) 또는 '''가우스 분포'''(Gauß 分布, {{llang|en|Gaussian distribution}})는 [[연속 확률 분포]]의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 [[근사]]하는 데에 자주 사용되며, 이것은 [[중심극한정리]]에 의하여 독립적인 [[확률변수]]들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.

정규분포는 2개의 매개 변수 [[평균 (통계학)|평균]] <math>\mu</math>와 [[표준편차]] <math>\sigma</math>에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 <math>\mathrm{N}(\mu, \sigma^2)</math>로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 <math>\mathrm{N}(0, 1)</math>을 '''[[표준 정규 분포]]'''(standard normal distribution)라고 한다.{{Sfn|이재기|최석근|박경식|정성혁|2013|p=83}}

== 역사 ==
정규분포는 [[아브라암 드무아브르]]가 [[1733년]] 쓴 글에서 특정 [[이항 분포]]의 <math>n</math>이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《[[우연의 교의]]》(The Doctrine of Chances) 2판([[1738년]])에 다시 실렸다. [[피에르시몽 라플라스]]는 그의 저서 《[[확률론의 해석이론]]》(Théorie analytique des probabilités)([[1812년]])에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.

라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. [[1805년]]에는 [[아드리앵마리 르장드르]]가 매우 중요한 방법인 [[최소제곱법]]을 도입했다. [[카를 프리드리히 가우스]]는 이 방법을 [[1794년]]부터 사용해왔다고 주장했는데 [[1809년]]에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 [[최소제곱법]]을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.

== 성질 ==
* 정규분포에서는 [[기댓값]], [[최빈값]], [[중앙값]]이 모두 <math>\mu</math>이다. 정규분포의 [[기댓값]]은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>
\begin{align}
\bar x &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left[-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right]\\
&= \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}y \exp[-y^{2}]dy
   + \frac{\mu}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp[-y^{2}]dy
\end{align}
</math><br>
위에서 첫 번째 적분은 [[홀함수와 짝함수|홀함수]]의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 [[가우스 적분]]으로 적분값이 <math>\sqrt{\pi}</math>로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 <math>\mu</math>다.

* 정규분포는 [[절대근사]]한다.
* 정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 [[정보 엔트로피|엔트로피]]를 최대화하는 분포이다.
* 정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다.
* 정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.<ref>김석우, 《기초통계학》, 학지사, 2007, p,83</ref>

== 표준 정규 분포 ==
정규 분포 밀도 함수에서 <math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math>를 통해 X(원점수)를 Z([[Z점수]])로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.{{Sfn|이재기|최석근|박경식|정성혁|2013|p=83}}

[[z-분포]]라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 [[z검정]](z-test)이라고 한다.

== 불확실성 ==
<math>P[\mu -k\sigma < X < \mu +k\sigma]</math>에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 <math>\pm k\sigma</math>값을 '''불확실성'''(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 <math>\pm 1.645\sigma</math>를 90% 불확실성, <math>\pm 1.960\sigma</math>는 95% 불확실성, <math>\pm 2.576\sigma</math>은 99% 불확실성이다. 특히, <math>\pm 0.674\sigma</math>를 50% 불확실성이라고 하며, '''확률오차'''(probable error)라고도 한다.<ref>{{서적 인용|저자1=최용기|저자2=박기용 |제목=토목기사 과년도 시리즈 - 측량학 |날짜=2015 |출판사=성안당 |isbn=9788931568080|쪽='''2'''-32}}</ref> 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.{{Sfn|이재기|최석근|박경식|정성혁|2013|p=80, 87}}

== 같이 보기 ==
* [[가우스 함수]]
* [[표본 크기]]
* [[F 분포]]
* [[표준정규분포표]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 저자1= 이재기 | 저자2= 최석근 | 저자3= 박경식 | 저자4= 정성혁 | 제목=측량학1 | 출판사= 형설출판사 | 판= 2 | 날짜= 2013 | ISBN= 978-89-472-7336-7 | ref=harv }}
* (구글북스, Pierre Simon marquis de Laplace, Théorie analytique des probabilités 1812)https://books.google.co.kr/books?id=nQwAAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
* (구글북스,The Doctrine of Chances , 1st edition ,Abraham de Moivre 1718)https://books.google.com/books?id=3EPac6QpbuMC

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Normal distribution}}
* {{매스월드|id=NormalDistribution|title=Normal distribution}}

{{확률분포}}

{{전거 통제}}

[[분류:정규 분포| ]]
[[분류:연속분포]]