정규 부분군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''정규 부분군'''(正規部分群, {{llang|en|normal subgroup}})은 [[내부자기동형사상]]에 대해 불변인 [[부분군]]을 말한다. 정규 부분군에 대하여 [[몫군]]을 취할 수 있다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[부분군]] <math>N\le G</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분군을 <math>G</math>의 '''정규 부분군'''이라고 한다.
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>gNg^{-1}\subseteq N</math>
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>gNg^{-1}=N</math>.  즉, [[내부자기동형사상]]에 대하여 불변이다.
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>gN=Ng</math>. 즉, [[좌잉여류]]와 [[우잉여류]]가 일치한다.
* <math>\ker\phi=N</math>인 [[군 준동형]] <math>\phi\colon G\to H</math>가 존재한다.
* [[정규화 부분군]]이 <math>G</math> 전체이다. 즉, <math>\operatorname N_G(N)=G</math>이다.
* [[정규핵]]이 자기 자신이다. 즉, <math>\operatorname{Core}_G(N)=N</math>이다.
<math>N</math>이 <math>G</math>의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.
:<math>N\vartriangleleft G</math>

== 성질 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[부분군]] <math>N\le G</math>이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.
* <math>G</math>는 [[아벨 군]]이다.
* <math>N</math>은 <math>G</math>의 [[군의 중심|중심]]이다.
* <math>N</math>은 [[자명군]]이다.
* <math>N=G</math>이다.
* <math>G</math>는 [[유한군]]이며, <math>N</math>의 [[부분군의 지표|지표]] <math>|G|/|N|</math>는 <math>|G|</math>의 가장 작은 소인수이다.
* <math>G</math>는 [[유한군]]이며, <math>N</math>의 [[부분군의 지표|지표]] <math>|G|/|N|</math>는 2이다.
* <math>N</math>은 <math>G</math>의 [[특성 부분군]]이다.
{{증명|부제=지표가 최소 소인수 ⇒ 정규 부분군}}
<math>N=\operatorname{Core}_G(N)</math>임을 보이는 것으로 족하다. <math>p</math>가 <math>|G|</math>의 최소 소인수라고 하자. <math>\operatorname{Core}_G(N)</math>은 [[군의 작용]]
:<math>G\to\operatorname{Sym}(G/N)</math>
:<math>g\mapsto(g'\mapsto gg'N)\qquad(g,g'\in G)</math>
의 [[핵 (수학)|핵]]이므로, [[몫군]]
:<math>G/{\operatorname{Core}_G(N)}</math>
은 [[대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(p)</math>의 [[부분군]]과 [[동형]]이며, 그 크기는 대칭군의 크기 <math>p!</math>의 약수이다. 즉, [[몫군]]
:<math>N/{\operatorname{Core}_G(N)}</math>
의 크기는 <math>(p-1)!</math>의 약수이다. 그러나 위 몫군의 크기는 <math>p</math> 미만의 소인수를 가질 수 없다. 따라서 크기는 1이다.
{{증명 끝}}

군 <math>G</math>의  정규 부분군 <math>N\vartriangleleft G</math>가 주어졌다면, [[몫군]] <math>G/N</math>에서 <math>N</math>의 [[외부자기동형군]] <math>\operatorname{Out}N</math>로 가는 자연스러운 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>G/N\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N</math>
이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 [[짧은 완전열]]이다.
:<math>\begin{matrix}
&&1&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname Z(N)&\hookrightarrow&\operatorname C_G(N)&\twoheadrightarrow&\operatorname C_G(N)/\operatorname Z(N)&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& G/N&\to&1\\
&&\downarrow &&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Inn}N&\hookrightarrow&\operatorname{Aut}N&\twoheadrightarrow&\operatorname{Out}N&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1&&1
\end{matrix}
</math>
여기서 준동형 <math>G\to\operatorname{Aut}N</math>은 <math>g\mapsto(n\mapsto gng^{-1})</math>이며, <math>N\to\operatorname{Inn}N</math>은 <math>n\mapsto(m\mapsto nmn^{-1})</math>이다.

특히, <math>N</math>이 아벨 정규 부분군일 경우, <math>\operatorname{Inn}N</math>이 [[자명군]]이며 <math>\operatorname{Out}N\cong\operatorname{Inn}N</math>이므로, 다음과 같은 자연스러운 [[군 준동형]]을 얻는다.
:<math>G/N\to\operatorname{Aut}N</math>
:<math>gN\mapsto(n\mapsto gng^{-1})</math>

== 예 ==
[[유클리드 군]] <math>\operatorname{IO}(n)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname{O}(n)</math>은 평행 이동의 군 <math>\mathbb R^n</math>을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 <math>\operatorname O(n)</math>은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

== 역사 ==
정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 [[에바리스트 갈루아]]였다.

== 같이 보기 ==
* [[단순군]]
* [[특성 부분군]]
* [[아이디얼]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract Algebra|판=3판|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|언어=en|oclc=248917264}}
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3판|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Normal subgroup}}
* {{매스월드|id=NormalSubgroup|title=Normal subgroup}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Normal_subgroup|제목=Normal subgroup|웹사이트=Groupprops|언어=en|확인날짜=2015-04-30|보존url=https://web.archive.org/web/20150318013507/http://groupprops.subwiki.org/wiki/Normal_subgroup|보존날짜=2015-03-18|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Nonstandard_definitions_of_normal_subgroup|제목=Nonstandard definitions of normal subgroup|웹사이트=Groupprops|언어=en|확인날짜=2015-04-30|보존url=https://web.archive.org/web/20150415034411/http://groupprops.subwiki.org/wiki/Nonstandard_definitions_of_normal_subgroup|보존날짜=2015-04-15|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Abelian_normal_subgroup|제목=Abelian normal subgroup|웹사이트=Groupprops|언어=en|확인날짜=2015-04-30|보존url=https://web.archive.org/web/20150415171356/http://groupprops.subwiki.org/wiki/Abelian_normal_subgroup|보존날짜=2015-04-15|url-status=dead}}

[[분류:군론]]