정규화 부분군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''정규화 부분군'''(正規化部分群, {{llang|en|normalizer|노멀라이저}})은 어떤 부분군을 [[정규 부분군]]으로 포함하는 가장 큰 부분군이다.

== 정의 ==
[[모노이드]] <math>M</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq G</math>의 '''정규화 부분 모노이드'''({{llang|en|normalizer submonoid}})는 다음과 같은, <Math>G</math>의 부분 집합이다.<ref>{{서적 인용|제목=Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach|이름=Henri|성=Bourlès|이름2=Bogdan|성2=Marinescu|doi=10.1007/978-3-642-19727-7|날짜=2011|총서=Lecture Notes in Control and Information Sciences|issn=0170-8643|언어=en}}</ref>{{rp|30, Definition 1.68}}<ref>{{서적 인용|제목=Mathematical Foundations of Information Flow|장=Compact affine monoids, harmonic analysis and information theory|이름=Karl Heinrich|성=Hofmann|이름2=Michael|성2=Mislove|isbn=978-0-8218-4923-1|날짜=2012|url=http://bookstore.ams.org/psapm-71|출판사=American Mathematical Society|총서=Proceedings of Symposia in Applied Mathematics|권=71|언어=en|확인날짜=2017-02-27|보존url=https://web.archive.org/web/20170227232326/http://bookstore.ams.org/psapm-71|보존날짜=2017-02-27|url-status=dead}}</ref>{{rp|161, Definition 8.11}}<ref name="Bourbaki">{{서적 인용|제목=Algèbre. Chapitres 1 à 3|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|날짜=1970|출판사=Masson|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|총서=Éléments de mathématique|언어=fr}}</ref>{{rp|AI.54, §AI.5.3}}
:<math>\operatorname N_M(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}</math>
이는 <math>M</math>의 [[부분 모노이드]]를 이룬다.

사실, 임의의 모노이드 <math>M</math>의 부분 집합 <math>S</math>에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 [[부분 모노이드]]를 이룬다.<ref>{{저널 인용|제목=The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids|저널=Semigroup Forum|doi=10.1007/BF02572939|성1=Hofmann|이름1=Karl Heinrich|성2=Mislove|이름2=M.|권=3|쪽=31–42|issn=0037-1912|날짜=1971|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN001247743|zbl=0223.22002|언어=en|확인날짜=2017-02-27|보존url=https://web.archive.org/web/20170227233947/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN001247743|보존날짜=2017-02-27|url-status=dead}}</ref>{{rp|4–5, Lemma 2.1}}
:<math>\operatorname{LN}_M(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq Sm\}</math>
:<math>\operatorname{RN}_M(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq mS\}</math>
이들은 <math>\operatorname N_M(S)</math>를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 <math>M</math>이 [[군 (수학)|군]]이며 <math>S</math>가 [[부분군]]이더라도) 서로 다르다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|AI.54}}

[[군 (수학)|군]]의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 [[부분군]]을 이루며, 이를 '''정규화 부분군'''이라고 한다. (그러나 <math>\operatorname{LN}_G(-)</math> 및 <math>\operatorname{RN}_G(-)</math>는 일반적으로 부분군이 아니다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|AI.54}})

== 성질 ==
임의의 모노이드 <math>M</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname N_M(S)=\operatorname{LN}_M(S)\cap\operatorname{RN}_M(S)</math>

[[중심화 부분 모노이드]]는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 [[모노이드]] <math>M</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname C_M(S)\subseteq\operatorname N_M(S)</math>

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq G</math>의 [[중심화 부분군]]은 <math>S</math>의 정규화 부분군의 [[정규 부분군]]이다.
:<math>\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S)</math>
군의 경우 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{LN}_G(S)=\left(\operatorname{RN}_G(S)\right)^{-1}</math>

<math>H\subseteq G</math>가 [[부분군]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname N_G(H)</math>는 <math>H</math>를 [[정규 부분군]]으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 [[부분군]] <math>K\subseteq G</math>에 대하여, 만약 <math>H</math>가 <math>K</math>의 [[정규 부분군]]이라면, <math>K</math>는 <math>\operatorname N_G(H)</math>의 [[부분군]]이다.
:<math>\forall K\in\operatorname{Sub}(G)\colon H\trianglelefteq K\le G\implies K\le\operatorname N_G(H)</math>

=== 환 ===
[[환 (수학)|환]]의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 [[부분 모노이드]]이지만 일반적으로 [[부분환]]을 이루지 못한다.

[[나눗셈환]] <math>D</math>의 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname N_D(D)=D</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>a\in D</math>에 대하여 <math>aD=Da</math>임을 보이면 족하다. 우선, 만약 <math>a=0</math>이라면 이는 자명하다. 따라서 <math>a\ne0</math>이라고 가정하자. 그렇다면,
:<math>D\supseteq aDa^{-1}\supseteq aa^{-1}Daa^{-1}=D</math>
이므로 <math>D=aDa^{-1}</math>이며 <math>Da=aD</math>이다.
</div></div>

== 예 ==
만약 <math>M</math>이 [[가환 모노이드]]라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 <math>M</math> 전체이다.

[[한원소 집합]]의 정규화 부분 모노이드는 [[중심화 부분 모노이드]]와 같다. 즉, 임의의 [[모노이드]] <math>M</math>의 원소 <math>m\in M</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{LN}_M(\{m\})=\operatorname{RN}_M(\{m\})=\operatorname N_M(\{m\})=\operatorname C_M(\{m\})</math>

[[공집합]]의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 [[모노이드]] <math>M</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname N_M(\varnothing)=M</math>
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname N_G(G)=G</math>
(그러나 이는 임의의 [[모노이드]]에 대하여 성립하지 못한다.)

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Normalizer of a subset}}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/onesidednormalityofsubsemigroup|제목=One-sided normality of semigroup|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}

[[분류:반군론]]
[[분류:군론]]