접다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Tangent_bundle.svg|섬네일|right|유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화.]]
[[파일:Image Tangent-plane.svg|섬네일|3차원 유클리드 공간에 매장된 [[구 (기하학)|구]]의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다.]]
[[미분기하학]]에서, [[매끄러운 다양체]]의 '''접다발'''(接-, {{llang|en|tangent bundle}})은 각 점 위의 접공간들의 [[서로소 합집합]]들로 구성된 [[벡터 다발]]이다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]]라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계
:<math>(U_i,\phi_i\colon U_i\to\mathbb R^n)_{i\in I}</math>
가 주어졌다고 하자 (<math>(U_i)_{\in I}</math>는 <math>M</math>의 [[덮개 (위상수학)|열린 덮개]]).

그렇다면, <math>M</math>의 '''접다발'''은 다음과 같은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
:<math>\mathrm TM=\frac{\bigsqcup_{i\in I} U_i\times\mathbb R^n}{\sim}</math>
여기서, 각 성분들을 이어붙이는 [[동치 관계]] <math>\sim</math>은 다음과 같다.
:<math>(x,u)\sim (x,v)\iff
\forall\mu\in\{1,\ldots,n\}\colon u^\mu=\sum_{\nu=1}^nv^\nu\frac{\partial\phi_i(x)^\mu}{\partial\phi_j(x)^\nu}
\qquad\forall i,j\in I,\;x\in U_i\cap U_j,\;u,v\in\mathbb R^n</math>
여기서 <math>\phi_i(x)^\mu</math>는 <math>\phi_i(x)\in\mathbb R^n</math>의 <math>\mu</math>번째 성분이다.

그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상
:<math>\pi\colon\mathrm TM\twoheadrightarrow M</math>
:<math>\pi\colon [(x,v)]\mapsto x</math>
을 통해 <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]을 이룬다.

<math>x\in M</math>의 '''접공간'''(接空間, {{llang|en|tangent space}}) <math>\mathrm T_xM</math>은 접다발의 [[올다발|올]]이다. 만약 <math>M</math>에서 어떤 [[유클리드 공간]]으로의 (매끄러운) [[몰입 (수학)|몰입]]이 주어졌다면, 이는 <math>M</math>에 "접하는" <math>n</math>차원 초평면으로 여길 수 있다.

매끄러운 다양체 <math>M</math>의 접다발의 [[쌍대 벡터 다발]] <math>\mathrm T^*M</math>을 '''공변접다발'''(共變接- {{llang|en|cotangent bundle}}) 또는 '''여접다발'''(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로
:<math>\mathrm T^*M=\frac{\bigsqcup_{i\in I} U_i\times\mathbb R^n}{\sim'}</math>
:<math>(x,u)\sim'(x,v)\iff
\forall\mu\in\{1,\ldots,n\}\colon u_\mu=\sum_{\nu=1}^nv_\nu\frac{\partial\phi_j(x)^\nu}{\partial\phi_i(x)^\mu}
\qquad\forall i,j\in I,\;x\in U_i\cap U_j,\;u,v\in\mathbb R^n</math>
와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, <math>x\in M</math>의 '''공변접공간'''(共變接空間, {{llang|en|cotangent space}}) <math>\mathrm T_x^*M</math>은 공변접다발의 [[올다발|올]]이다.

=== 벡터장과 텐서장 ===
<math>M</math>의 접다발 <math>\mathrm TM</math>의 [[매끄러운 단면]]을 '''[[벡터장]]'''이라고 한다.
<math>M</math>의 공변접다발 <math>\mathrm T^*M</math>의 [[매끄러운 단면]]을 '''[[1차 미분 형식]]'''이라고 한다.
<math>M</math>의 접다발과 공변접다발들의 [[텐서곱]]
:<math>\overbrace{\mathrm TM\otimes\cdots\mathrm TM}^p\otimes\overbrace{\mathrm T^*M\otimes\cdots\otimes\mathrm T^*M}^q</math>
의 [[매끄러운 단면]]을 '''<math>(p,q)</math>차 텐서장'''이라고 한다.

== 예 ==
만약 어떤 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, <math>M</math>을 '''평행화 가능 다양체'''({{llang|en|parallelizable manifold}})라고 한다. [[초구]] <math>\mathbb S^n</math> 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 <math>\mathbb S^0</math>, <math>\mathbb S^1</math>, <math>\mathbb S^3</math>, <math>\mathbb S^7</math> 밖에 없다.

모든 3차원 [[가향 다양체]]는 평행화 가능 다양체이다.

=== 리만 다양체 ===
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 경우, 각 점 <math>x\in M</math>에서 접다발과 공변접다발 사이의 [[동형 사상]]
:<math>(-)^\flat\colon \mathrm T_xM\to\mathrm T_x^*M</math>
:<math>(-)^\flat\colon v\mapsto g(v,-)</math>
:<math>(-)^\sharp\colon \mathrm T_x^*M\to\mathrm T_xM</math>
:<math>(-)^\sharp\colon g(v,-)\mapsto v</math>
이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 [[매끄러운 벡터 다발]] [[동형 사상]]을 정의한다. 이를 '''음악 동형'''(音樂同形, {{llang|en|musical isomorphism}})이라고 한다.

여기서 "음악"이라는 어원은 [[악보]]의 [[올림표]](♯)와 [[내림표]](♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자(<math>^\mu</math>), 공변접다발의 단면은 아랫첨자(<math>_\mu</math>)로 표기하므로, <math>(-)^\flat</math>은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", <math>(-)^\sharp</math>는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|이름1=Shiing-Shen|성1=Chern|저자링크=천싱선
|이름2=Wei-Huan|성2=Chen
|이름3=Kai-Shue |성3=Lam
|제목=Lectures on differential geometry
|doi=10.1142/3812
|총서=Series on University Mathematics|권=1
|출판사=World Scientific | isbn= 978-981-02-3494-2 | 날짜=1999-11
|언어=en
}}

== 같이 보기 ==
* [[공변접다발]]
* [[미분 사상]]
* [[틀다발]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Tangent bundle}}
* {{매스월드|id=TangentBundle|title=Tangent bundle}}
* {{매스월드|id=TangentBundleSection|title=Tangent bundle section}}
* {{매스월드|id=CotangentBundle|title=Cotangent bundle}}
* {{nlab|id=tangent bundle|title=Tangent bundle}}
* {{nlab|id=cotangent bundle|title=Cotangent bundle}}
* {{nlab|id=generalized tangent bundle|title=Generalized tangent bundle}}
* {{nlab|id=synthetic tangent bundle|title=Synthetic tangent bundle}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:벡터 다발]]