점별 수렴 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''점별 수렴'''(點別收斂, {{llang|en|pointwise convergence}}) 또는 '''점마다 수렴'''은 함수열을 [[정의역]]의 임의의 점으로 국한하였을 때 [[공역]]에서 수렴하는 성질이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math> 및 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>가 주어졌다고 하자. [[함수]]들의 열 <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}</math> 및 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 점렬 <math>(f_n(x))_{n\in\mathbb N}\subseteq Y</math>는 (<math>Y</math>의 위상에 따라) 점 <math>f(x)\in Y</math>로 수렴한다.
그렇다면 함수열 <math>(f_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 함수 <math>f</math>로 '''점별 수렴'''한다고 한다.

사실, 함수열(또는 함수의 그물)의 점별 수렴은 함수 집합 <math>Y^X</math> 위에 [[곱위상]]을 주었을 때 나타나는 수렴과 일치한다. 따라서 <math>Y^X</math> 위의 곱위상은 흔히 '''점별 수렴 위상'''(點別收斂位相, {{llang|en|topology of pointwise convergence}})이라고 불린다. 보다 일반적으로, 함수 집합 <math>\mathcal F\subset Y^X</math> 위의 '''점별 수렴 위상'''은 [[곱위상]]의 [[부분 공간 위상]]을 일컫는다.

== 성질 ==
함수열에 대하여 정의할 수 있는 수렴으로는 점별 수렴 밖에도 [[콤팩트 수렴]]이나 [[균등 수렴]] 따위가 있다. 세 가지 수렴은 점차 강해지는 개념이다. 즉, 만약 어떤 함수열이 어떤 함수로 [[균등 수렴]]한다면, 이 함수열은 이 함수로 콤팩트 수렴한다. 또한 만약 함수열이 어떤 함수로 [[콤팩트 수렴]]한다면 이 함수로 점별 수렴한다. (물론, [[균등 수렴]]을 정의하기 위해서는 [[공역]] 위에 [[균등 공간]]의 구조가 부여되어야 하며, [[콤팩트 수렴]]을 정의하려면 추가로 [[정의역]] 위에 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 구조가 필요하다.)

그러나 점별 수렴하는 함수열이 반드시 균등 수렴하거나 콤팩트 수렴할 필요는 없다. 예를 들어, <math>X=[0,1]</math>, <math>Y=\mathbb R</math>라고 하고, 다음과 같은 함수열을 생각하자.
:<math>f_n\colon[0,1]\to\mathbb R</math>
:<math>f_n\colon x\mapsto x^n</math>
이 함수열은 함수
:<math>f\colon[0,1]\to\mathbb R</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}
0&x\in[0,1)\\
1&x=1
\end{cases}</math>
로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이나 콤팩트 수렴이 아니다. 이 예시는 또한 [[연속 함수]]의 열의 점별 극한이 연속 함수일 필요가 없다는 사실을 보여준다. 반면, 균등 극한은 연속성을 보존한다. 마찬가지로, 균등 극한은 함수의 [[미분]]과 [[적분]]의 개념과 비교적 잘 호환되는 반면 점별 극한은 그렇지 못하다.

점별 수렴이 [[곱위상]]의 수렴인 것처럼, [[균등 수렴]]은 [[균등 수렴 위상]]의 수렴이며, [[콤팩트 수렴]]과 [[콤팩트-열린집합 위상]]의 수렴은 둘 다 정의되었을 경우 일치한다.

=== 거의 어디서나 점별 수렴 ===
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>에서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>으로 가는 [[가측 함수]]들의 열 <math>(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, [[거의 어디서나]] 점별 수렴을 정의할 수 있다. 즉, 만약 <math>(f_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 어떤 [[측도]] 0의 [[가측 집합]]의 [[여집합]]의 모든 점에서 수렴한다면, 이 함수열이 [[거의 어디서나]] 점별 수렴한다고 한다. 점별 수렴과 달리, 거의 어디서나 점별 수렴은 함수 공간 위의 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상]]의 수렴으로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 다음과 같은 [[가측 함수]]의 열을 생각하자.
:<math>f_n\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f_n\colon x\mapsto\begin{cases}
1 & n=2^k+j,\;0\le j<2^k,\;x\in[j/2^k,(j+1)/2^k] \\
0 & n=2^k+j,\;0\le j<2^k,\;x\not\in[j/2^k,(j+1)/2^k]
\end{cases}</math>
이 함수열은 [[거의 어디서나]] 점별 수렴하지 않는다. 그러나 임의의 부분열 <math>(g_k)_{k\in\mathbb N}</math>에 대하여, [[거의 어디서나]] 점별 수렴하는 <math>(g_k)_{k\in\mathbb N}</math>의 부분열 <math>(h_j)_{j\in\mathbb N}</math>을 찾을 수 있다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서의 수렴은 이 두 조건을 동시에 만족시킬 수 없다. 따라서 [[거의 어디서나]] 점별 수렴은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서의 수렴이 아니다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
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|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Pointwise convergence}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:수렴]]