점류 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''점류'''(點類, {{llang|en|pointclass}})는 어떤 [[구체적 범주]](예를 들어, [[폴란드 공간]]들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 [[부분 집합]]들의 [[집합족]]을 대응시키며, 특정 [[함수]] 아래의 [[원상 (수학)|원상]]에 대하여 닫혀 있는 구조이다.

== 정의 ==
[[구체적 범주]] <math>F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Set}</math> 위에는 다음과 같은 [[멱집합]] [[자기 함자]]가 존재한다.
:<math>\operatorname{Pow}\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\operatorname{Pow}\colon X\mapsto\operatorname{Pow}(X)</math>
:<math>\operatorname{Pow}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto\left(f^{-1}\colon\operatorname{Pow}(Y)\to\operatorname{Pow}(X)\right)</math>
그렇다면, <math>\operatorname{Pow}\circ F</math>는 <math>\mathcal C</math> 위의 [[준층]]을 이룬다. <math>\operatorname{Pow}\circ F</math>의 [[부분 준층]]을 <math>(\mathcal C,F)</math> 위의 '''점류'''라고 한다. 즉, 구체적으로 '''점류''' <math>\Gamma</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, [[집합족]] <math>\Gamma(X)\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>
* 또한, 임의의 [[부분 집합]] <math>B\subseteq Y</math> 및 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>B\in\Gamma(Y)</math>라면 <math>f^{-1}(B)\in\Gamma(X)</math>이다.

[[구체적 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>에 대하여, <math>\check\Gamma</math>는 다음과 같은 점류이다.
:<math>\check\Gamma(X)=X\setminus\Gamma(X)</math>
이를 <math>\boldsymbol\Gamma</math>의 '''쌍대 점류'''(雙對點類, {{llang|en|dual pointclass}})라고 한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|167, §22.A}} 또한, <math>\mathcal C</math> 위의 점류들의 집합 <math>\{\Gamma_i\}_{i\in I}</math>에 대하여,
:<math>\bigcap_{i\in I}\Gamma_i\colon X\mapsto\bigcap_{i\in i}\Gamma_i(X)</math>
:<math>\bigcup_{i\in I}\Gamma_i\colon X\mapsto\bigcup_{i\in i}\Gamma_i(X)</math>
역시 점류이다. 특히, <math>\Gamma\cap\check\Gamma</math>를 <math>\Gamma</math>의 '''모호 점류'''(模糊點類, {{llang|en|ambiguous pointclass}})라고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|167, §22.A}}<ref name="Moschovakis">{{서적 인용|성=Moschovakis|이름=Yiannis N.|제목=Descriptive set theory|url=http://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/dst2009/dst2009.pdf|판=2|isbn=978-0-8218-4813-5|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=155|날짜=2009|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref>{{rp|114, §3D}}

흔히 <math>(\mathcal C,F)</math>가 [[폴란드 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{PolTop}</math>이거나, 또는 [[표준 보렐 가측 공간]]과 [[보렐 가측 함수]]의 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{stdBorelMeasbl}</math>를 사용한다.

== 성질 ==
임의의 기수 <math>\kappa</math> 및 점류 <math>\Gamma</math>에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, <math>\Gamma</math>가 '''<math>\kappa</math> 미만 [[합집합]]에 대하여 닫혀 있다'''고 한다.
* 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math> 및 <math>\mathcal A\subseteq\Gamma(X)</math>에 대하여, 만약 <math>|\mathcal A|<\kappa</math>라면 <math>\textstyle\bigcup\mathcal A\in\Gamma(X)</math>이다.
임의의 기수 <math>\kappa</math> 및 점류 <math>\Gamma</math>에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, <math>\Gamma</math>가 '''<math>\kappa</math> 미만 [[교집합]]에 대하여 닫혀 있다'''고 한다.
* 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math> 및 <math>\mathcal A\subseteq\Gamma(X)</math>에 대하여, 만약 <math>|\mathcal A|<\kappa</math>라면 <math>\textstyle\bigcap\mathcal A\in\Gamma(X)</math>이다.
만약 <math>\Gamma=\check\Gamma</math>라면, <math>\Gamma</math>가 '''여집합에 대하여 닫혀 있다'''고 한다.

=== 폴란드 공간의 점류 ===
<math>(\mathcal C,F)</math>가 [[폴란드 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{PolTop}</math>인 경우를 생각하자.

<math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.
* 임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 및 집합렬 <math>A_0,A_1,\dots\subseteq X</math>에 대하여, <math>A\in X\times\mathbb N\iff\forall i\in\mathbb N\colon A_i\in\Gamma(X)</math>이라면, <math>\Gamma</math>가 '''합리적 점류'''(合理的點類, {{llang|en|reasonable pointclass}})라고 한다.{{rp|171, §22.C}} (여기서 <math>\mathbb N</math>은 [[자연수]] 집합으로 여긴 [[가산 무한]] [[이산 공간]]이다.)
<math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math> 및 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\Gamma</math>가 '''<math>\kappa</math>-분리 성질'''({{llang|en|<math>\kappa</math>-separation property}})을 만족시킨다고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|170, Definition 22.14}}
:임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 및 임의의 집합족 <math>\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\Gamma(X)</math>에 대하여, 만약 <math>|I|<\kappa</math>이며 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing</math>이라면, <math>\forall i\in I\colon A_i\subseteq B_n</math>이자 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing</math>인 <math>B_0,B_1,\dots\in\Gamma(X)\cap\check\Gamma(X)</math>가 존재한다.
<math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math> 및 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>\kappa</math>-축소 성질'''({{llang|en|<math>\kappa</math>-reduction property}})을 만족시킨다고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|170, Definition 22.14}}
:임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 및 임의의 집합족 <math>\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\Gamma(X)</math>에 대하여, 만약 <math>|I|<\kappa</math>이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 <math>\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\Gamma(X)</math>가 존재한다.
:* <math>\forall i\in I\colon B_i\subseteq A_n</math>
:* <math>\forall i,j\in I\colon i\ne j\implies B_i\cap B_j=\varnothing</math>
:* <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}B_i</math>

<math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, <math>\check\Gamma</math>는 가산 분리 성질을 갖는다.

=== 균등화 성질 ===
[[파일:Uniformization ill.png|섬네일|right|집합 <math>R</math> (푸른색)의 균등화 <math>f</math> (붉은색)]]
[[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 및 [[부분 집합]] <math>R\subseteq X\times Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>R</math>의 '''균등화 집합'''({{llang|en|uniformizing set}}) <math>S\subseteq R</math>은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.
* 임의의 <math>(x,y)\in R</math>에 대하여, <math>(x,y')\in S</math>인 <math>y'\in Y</math>가 유일하게 존재한다.

폴란드 공간 <math>Y</math>가 주어졌을 때, <math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>Y</math>-균등화 성질'''(<math>Y</math>-均等化性質, {{llang|en|<math>Y</math>-uniformization property}})을 만족시킨다고 한다.
:임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math>과 [[부분 집합]] <math>R\in\Gamma(X\times Y)</math>에 대하여, <math>R</math>의 균등화 <math>S\in\Gamma(X\times Y)</math>가 존재한다.
모든 폴란드 공간 <math>Y</math>에 대하여 <math>Y</math>-균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, '''균등화 성질'''을 만족시킨다고 한다.

그렇다면, <math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
* 합리적이며, <math>\mathbb N</math>-균등화 성질을 갖는다. (<math>\mathbb N</math>은 [[가산 무한]] [[이산 공간]]이다.)

=== 계급 점류 ===
[[구체적 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>와 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 및 그 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 <math>\phi\colon A\to\operatorname{Ord}</math>에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는, <math>X</math> 위의 두 [[이항 관계]] <math>\le_\phi^\Gamma</math>, <math>\le_\phi^{\check\Gamma}</math>가 존재한다면, <math>\phi</math>가 <math>A</math> 위의 '''<math>\Gamma</math>-계급 함수'''(<math>\Gamma</math>-階級函數, {{llang|en|<math>\Gamma</math>-rank}})라고 한다.
* <math>\le_\phi^\Gamma\in\Gamma(X^2)</math>
* <math>\le_\phi^{\check\Gamma}\in\check\Gamma(X^2)</math>
* 임의의 <math>a\in A</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>(x\in A\land\phi(x)\le\phi(a))\iff x\le_\phi^\Gamma a\iff x\le_\phi^{\check\Gamma}a</math>이다.

<math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''계급 점류'''({{llang|en|ranked pointclass}})라고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|171, Definition 22.14}}
:임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 및 <math>A\in\Gamma(X)</math>에 대하여, <math>\Gamma</math>-계급 함수가 존재한다.

계급 점류 <math>\Gamma</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 [[열린닫힌집합]]들을 포함한다. 즉, <math>\boldsymbol\Delta^0_1\subseteq\Gamma</math>이다.
* 가산 [[교집합]]과 가산 [[합집합]]에 대하여 닫혀 있다.
그렇다면, <math>\Gamma</math>는 가산 축소 성질과 <math>\mathbb N</math>-균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.

=== 눈금 ===
[[폴란드 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 위의 계급 함수의 열 <math>(\phi_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''눈금'''({{llang|en|scale}})이라고 한다.
:<math>A</math> 속의 임의의 [[점렬]] <math>(a_i)_{i<\omega}\subseteq A</math>에 대하여, 만약
:* <math>(a_i)_{i<\omega}</math>는 <math>X</math> 속에서 <math>x\in X</math>로 수렴하며,
:* <math>\forall i\ge N\colon\phi_n(a_i)=\lambda_n</math>이 되는 <math>N_n<\omega</math>와 <math>\lambda_n\in\operatorname{Ord}</math>가 존재한다면,
:<math>x\in A</math>이자 <math>\forall i\in\mathbb N\colon\phi_i(x)\le\lambda_i</math>이다.

<math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math> 및 폴란드 공간 <math>X</math> 및 그 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math> 및 <math>A</math> 위의 눈금 <math>(\phi_i)_{i\in\mathbb N}</math>에 대하여, 만약 모든 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\phi_i\colon A\to\operatorname{Ord}</math>가 <math>\Gamma</math>-계급 함수라면, <math>(\phi_i)_{i\in\mathbb N}</math>를 '''<math>\Gamma</math>-눈금'''이라고 한다.

<math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''눈금 점류'''({{llang|en|scaled pointclass}})라고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|171, Definition 22.14}}
:임의의 <math>A\in\Gamma</math>에 대하여, <math>A</math> 위의 <math>\Gamma</math>-눈금이 존재한다.

눈금 점류는 항상 계급 점류이다.

<math>\operatorname{stdBorelMeasbl}</math> 위의 눈금 점류 <math>\Gamma</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 [[보렐 집합]]을 포함한다. 즉, <math>\boldsymbol\Delta^1_1\subseteq\Gamma</math>이다.
* 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
* 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
* (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 <math>A\in\Gamma(X\times Y)</math>에 대하여, <math>\operatorname{\forall}^Y(A)=\{x\in X\colon\{x\}\times Y\subseteq A\}\in\Gamma(X)</math>이다.
그렇다면, <math>\Gamma</math>는 균등화 성질을 갖는다.

즉, 만약 폴란드 공간의 점류 <math>\Gamma</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 [[보렐 집합]]을 포함한다. 즉, <math>\boldsymbol\Delta^1_1\subseteq\Gamma</math>이다.
* [[보렐 가측 함수]]의 [[원상 (수학)|원상]]에 대하여 닫혀 있다.
* 가산 [[합집합]]과 가산 [[교집합]] 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
* 합리적 점류이다.
그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.
:{| style="text-align: center"
| 눈금 점류 || ⇒ || 계급 점류 || ⇒ || 가산 축소 점류 || ⇒ || 가산 분리 점류의 쌍대 점류
|-
| ⇓
| colspan=3 | || ⇳
|-
| 균등화 점류
| colspan=3 | ⇒ || <math>\mathbb N</math>-균등화 점류
|}

=== 주기성 정리 ===
<math>\operatorname{stdBorelMeasbl}</math> 위의 점류 <math>\Gamma</math>가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 [[보렐 집합]]을 포함한다.
* 유한 [[교집합]]에 대하여 닫혀 있다.
* 유한 [[합집합]]에 대하여 닫혀 있다.
* 사영에 대하여 닫혀 있다.
* 임의의 <math>S\in\Gamma(\mathbb N^{\aleph_0})\cap\check\Gamma(\mathbb N^{\aleph_0})</math>에 대하여, <math>S</math>는 [[결정 집합]]이다.
* 눈금 점류이다.
그렇다면, '''주기성 정리'''({{llang|en|periodicity theorem}})에 따르면, <math>\forall^{\mathbb N^{\aleph_0}}\Gamma</math> 역시 눈금 점류이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|336–337, Theorem 39.8}}

특히, [[사영 위계]]의 집합들은 [[결정 집합]]·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. <math>\boldsymbol\Pi_1^1</math>은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 [[사영 결정 공리]]를 가정할 경우, <math>\boldsymbol\Pi^1_{2n+1}</math>과 <math>\boldsymbol\Sigma^1_{2n+2}</math>는 눈금 점류가 된다.

== 예 ==
[[보렐 위계]]의 단계들 <math>\boldsymbol\Delta^0_\alpha</math>, <math>\boldsymbol\Sigma^0_\alpha</math>, <math>\boldsymbol\Pi^0_\alpha</math>은 <math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류를 이룬다 (즉, [[연속 함수]]에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

[[사영 위계]]의 단계들 <math>\boldsymbol\Delta^1_n</math>, <math>\boldsymbol\Sigma^1_n</math>, <math>\boldsymbol\Pi^1_n</math>은 <math>\operatorname{PolTop}</math> 위의 점류를 이루며, 또한 <math>\operatorname{stdBorelMeasbl}</math> 위의 점류를 이룬다 (즉, [[보렐 가측 함수]]에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:집합론]]