점렬 콤팩트 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''점렬 콤팩트 공간'''(點列compact空間, {{llang|en|sequentially compact space}})은 모든 [[점렬]]이 [[수렴]]하는 부분 점렬을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|179, Definition}}

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''점렬 콤팩트 공간'''이라고 한다.
* 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 갖는다. 즉, 임의의 [[점렬]] <math>(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X</math>에 대하여, <math>x_{n_i}\to x</math>인 <math>x\in X</math> 및 <math>n_0<n_1<n_2<\cdots</math>가 존재한다.

== 성질 ==
가산 개의 점렬 콤팩트 공간들의 [[곱공간]]은 점렬 콤팩트 공간이다. <math>\aleph_1</math>개 이하의 점렬 콤팩트 공간들의 [[곱공간]]은 [[가산 콤팩트 공간]]이다.<ref name="Scarborough">{{저널 인용
|성1=Scarborough
|이름1=C. T.
|성2=Stone
|이름2=A. H.
|제목=Products of nearly compact spaces
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=124
|쪽=131–147
|날짜=1966
|issn=0002-9947
|doi=10.2307/1994440
|mr=0203679
|zbl=0151.30001
}}</ref>{{rp|144, Theorem 5.5}}<ref name="Willard">{{서적 인용
|성1=Willard
|이름1=Stephen
|제목=General topology
|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0
|언어=en
|총서=Addison-Wesley Series in Mathematics
|출판사=Addison-Wesley
|위치=Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario
|날짜=1970
|isbn=978-0-201-08707-9
|mr=0264581
|zbl=0205.26601
}}</ref>{{rp|125, Exercise 17G}}

점렬 콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 점렬 콤팩트 공간이다.

점렬 콤팩트 공간의 연속적 상은 점렬 콤팩트 공간이다.

=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| || || [[콤팩트 공간]]
|-
| || ↗ || || ↘
|-
| [[뇌터 공간]] || || || || [[가산 콤팩트 공간]] || → || [[희박 콤팩트 공간]] || → || [[유사 콤팩트 공간]]
|-
| || ↘ || || ↗ || || ↘
|-
| || || 점렬 콤팩트 공간 || || || || [[극한점 콤팩트 공간]]
|}
콤팩트성과 점렬 콤팩트성 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.
{{증명|부제=점렬 콤팩트 공간 ⇒ 가산 콤팩트 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 [[가산 콤팩트 공간]]이 아니라고 하자. 즉, 유한 부분 덮개를 갖지 않는, <math>X</math>의 [[가산 집합|가산]] [[열린 덮개]] <math>\{U_0,U_1,\dots\}</math>가 존재한다. 따라서, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>x_n\in X\setminus(U_0\cup\cdots\cup U_n)</math>
을 고를 수 있다. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\in U_n</math>인 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>이 존재한다. 그런데, 임의의 <math>i\ge n</math>에 대하여 <math>x_i\in U_n</math>이다. 즉, <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>의 어떤 부분 점렬도 <math>x</math>로 수렴할 수 없다. 이는 임의의 <math>x</math>에 대한 것이므로, <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>의 수렴 부분 점렬은 존재하지 않는다. 즉, <math>X</math>는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
{{증명 끝}}
[[제1 가산 공간]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Willard" />{{rp|125, 17G.3}}
* 점렬 콤팩트 공간이다.
* [[가산 콤팩트 공간]]이다.
{{증명}}
모든 [[제1 가산 공간|제1 가산]] [[가산 콤팩트 공간]] <math>X</math>가 점렬 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 점렬 <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>이 주어졌다고 하자. 만약 <math>\{x_0,x_1,\dots\}</math>이 [[유한 집합]]이라면,
:<math>x=x_{n_0}=x_{n_1}=\cdots</math>
인 <math>x\in X</math> 및 <math>n_0<n_1<\cdots</math>이 존재하며, 이 경우 부분 점렬 <math>(x_{n_i})_{i=0}^\infty</math>은 <math>x</math>로 수렴한다. 만약 <math>\{x_0,x_1,\dots\}</math>이 [[무한 집합]]이라면, <math>\{x_0,x_1,\dots\}</math>의 <math>\aleph_0</math>-[[집적점]] <math>x\in X</math>가 존재한다. <math>x</math>의 가산 [[국소 기저]]
:<math>U_0\supseteq U_1\supseteq\cdots</math>
를 잡자. 그렇다면, 임의의 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>U_i\cap\{x_0,x_1,\dots\}</math>은 [[무한 집합]]이다. 따라서,
:<math>x_{n_i}\in U_i\qquad(\forall i\in\mathbb N)</math>
인
:<math>n_0<n_1<\cdots</math>
이 존재한다. 이 경우, <math>(x_{n_i})_{i=0}^\infty</math>는 <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>의 부분 점렬이며, <math>x</math>로 수렴한다. 즉, <math>X</math>는 점렬 콤팩트 공간이다.
{{증명 끝}}
[[제2 가산 공간]]에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Willard" />{{rp|125, 17G.4}}
* [[콤팩트 공간]]이다.
* 점렬 콤팩트 공간이다.
* [[가산 콤팩트 공간]]이다.
{{증명}}
모든 [[제2 가산 공간]]은 [[제1 가산 공간]]이므로, 모든 [[제2 가산 공간|제2 가산]] [[가산 콤팩트 공간]]이 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음 두 사실로부터 바로 따라나온다.
* 모든 [[린델뢰프 공간|린델뢰프]] [[가산 콤팩트 공간]]은 [[콤팩트 공간]]이다.
* 모든 [[제2 가산 공간]]은 [[린델뢰프 공간]]이다.
직접적인 증명은 다음과 같다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 [[동치]]임을 쉽게 보일 수 있다.
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>\mathcal B</math>의 임의의 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
마찬가지로, 다음 두 조건이 [[동치]]임을 쉽게 보일 수 있다.
* <math>X</math>는 [[가산 콤팩트 공간]]이다.
* <math>\mathcal B</math>의 임의의 가산 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
[[제2 가산 공간]]의 경우, 가산 기저 <math>\mathcal B</math>가 존재하므로, 위 두 쌍의 조건은 동치가 된다.
{{증명 끝}}
[[거리화 가능 공간]]에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 [[동치]]이다.<ref name="Munkres" />{{rp|179–180, Theorem 28.2}}
* [[콤팩트 공간]]이다.
* 점렬 콤팩트 공간이다.
* [[가산 콤팩트 공간]]이다.
* [[극한점 콤팩트 공간]]이다.
* [[희박 콤팩트 공간]]이다.
* [[유사 콤팩트 공간]]이다.
{{증명}}
다음 사실들로부터 따라나온다.
* [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]에 대하여, [[가산 콤팩트 공간]]·[[극한점 콤팩트 공간]]·[[희박 콤팩트 공간]]·[[유사 콤팩트 공간]]의 개념은 서로 [[동치]]이다.
* 모든 [[콤팩트 공간]] 및 모든 점렬 콤팩트 공간은 [[가산 콤팩트 공간]]이다.
* [[제1 가산 공간|제1 가산]] [[가산 콤팩트 공간]]은 점렬 콤팩트 공간이다.
* [[파라콤팩트]] [[가산 콤팩트 공간]]은 [[콤팩트 공간]]이다.
* 모든 [[거리화 가능 공간]]은 [[제1 가산 공간|제1 가산]] [[파라콤팩트]] [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]이다.
모든 점렬 콤팩트 [[거리 공간]]이 콤팩트 거리 공간임에 대한 한 가지 직접적인 증명은 다음과 같은 세 단계로 구성된다.
* 점렬 콤팩트 [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>는 항상 [[르베그 수]]를 갖는다.
** [[귀류법]]을 사용하여, <math>\mathcal U</math>가 [[르베그 수]]를 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>1/n</math>이 <math>\mathcal U</math>의 [[르베그 수]]가 아니므로, <math>\operatorname{diam}Y_n<1/n</math>이며 <math>Y_n\not\subseteq U\forall U\in\mathcal U</math>인 <math>Y_n\subseteq X</math>가 존재한다. <math>y_n\in Y_n</math>을 고르자. 그렇다면, <math>(y_n)_{n=0}^\infty</math>의 어떤 부분 점렬 <math>(y_{n_i})_{i=0}^\infty</math>은 어떤 점 <math>y\in X</math>로 수렴한다. <math>B(y,\epsilon)\subseteq U\in\mathcal U</math>라고 하자. 그렇다면, 충분히 큰 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>1/n_i<\epsilon/2</math>이며 <math>d(y_{n_i},y)<\epsilon/2</math>이다. 따라서 <math>Y_{n_i}\subseteq U</math>이며, 이는 모순이다.
* 점렬 콤팩트 [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>은 [[완전 유계 공간]]이다.
** <math>(X,d)</math>가 [[완전 유계 공간]]이 아니라고 하자. 즉, 유한 개의 <math>\epsilon</math>-[[열린 공]]들로 구성된 [[덮개 (위상수학)|덮개]]가 존재하지 않게 되는 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>이 존재한다. 그렇다면 <math>x_i\in X\setminus(B(x_0,\epsilon)\cup\cdots\cup B(x_{i-1},\epsilon))</math>인 점렬 <math>(x_i)_{i=0}^\infty\subseteq X</math>을 재귀적으로 구성할 수 있다. 이 경우, 임의의 <math>i\ne j</math>에 대하여 <math>d(x_i,x_j)\ge\epsilon</math>이므로, <math>(x_i)_{i=0}^\infty</math>는 수렴 부분 점렬을 갖지 않는다. 즉, <math>X</math>는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
* [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 모든 [[열린 덮개]]가 [[르베그 수]]를 가지며, [[완전 유계 공간]]이라면, [[콤팩트 공간]]이다.
** 임의의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. 가정에 따라 <math>\mathcal U</math>의 [[르베그 수]] <math>\delta>0</math>이 존재한다. 완전 유계성에 따라, <math>X=B(x_1,\delta)\cup\cdots\cup B(x_n,\delta)</math>인 [[유한 집합]] <math>\{x_1,\dots,x_n\}\subseteq X</math>가 존재한다. 임의의 <math>i\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>B(x_i,\delta)\subseteq U_i</math>인 <math>U_i\in\mathcal U</math>를 고르자. 그렇다면, <math>\{U_1,\dots,U_n\}</math>은 <math>\mathcal U</math>의 유한 부분 덮개이다. 즉, <math>(X,d)</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.
{{증명 끝}}
특히, 노름 위상을 갖춘 [[바나흐 공간]]의 부분 집합에 대하여 위 동치가 성립한다. [[약한 위상]]에서도 위 동치의 일부가 성립한다. 구체적으로, [[에벌라인-시물리얀 정리]]에 따르면, <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(V,\lVert\cdot\rVert)</math> 및 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[약한 위상]]에 대하여 [[콤팩트 공간]]이다.
* [[약한 위상]]에 대하여 점렬 콤팩트 공간이다.
* [[약한 위상]]에 대하여 [[가산 콤팩트 공간]]이다.
* [[약한 위상]]에 대하여 [[극한점 콤팩트 공간]]이다.

== 예 ==
=== 콤팩트 공간이 아닌 점렬 콤팩트 공간 ===
최소 비가산 [[순서수]] <math>\omega_1</math>는 ([[순서 위상]]에 대하여) 점렬 콤팩트 공간이지만, [[콤팩트 공간]]이 아니다.

=== 점렬 콤팩트 공간이 아닌 콤팩트 공간 ===
두 점 [[이산 공간]]의 <math>2^{\aleph_0}</math>개 [[곱공간]] <math>2^{\times2^{\aleph_0}}</math>은 ([[티호노프 정리]]에 따라) [[콤팩트 공간]]이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

[[가산 무한]] [[이산 공간]]의 [[스톤-체흐 콤팩트화]] <math>\beta\mathbb N</math>은 [[콤팩트 공간]]이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

=== 콤팩트 공간도 점렬 콤팩트 공간도 아닌 가산 콤팩트 공간 ===
가산 콤팩트 공간이지만 콤팩트 공간이 아니며 점렬 콤팩트 공간도 아닌 예로
:<math>\omega_1\times2^{\times2^{\aleph_0}}</math>
을 들 수 있다. 이는 가산 콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱은 가산 콤팩트 공간이며, <math>\omega_1</math>과 <math>2^{\times2^{\aleph_0}}</math>이 <math>\omega_1\times2^{\times2^{\aleph_0}}</math>의 [[닫힌집합]](또는 연속적 상)이기 때문이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Sequentially-compact space}}
* {{nlab|id=sequentially compact topological space|제목=Sequentially compact topological space}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/|제목=Sequentially compact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{플래닛매스|urlname=sequentiallycompact|제목=Sequentially compact}}
* {{proofwiki|id=Definition:Sequentially Compact Space|제목=Definition: sequentially compact space}}
* {{웹 인용|제목=Sequentially compact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/sequentially%20compact|확인날짜=2024-07-22}}

[[분류:위상 공간의 성질]]