점근 밀도 문서 원본 보기

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[[정수론]]에서 '''점근 밀도'''(Asymptotic Density 또는 Natural density 또는 arithmetic density)란, 자연수의 부분집합이 얼마나 큰지를 측정하는 척도이다.

직관적으로 [[완전 제곱수]]보다는 [[자연수]]가 "더 많다". 두 집합은 물론 [[일대일 대응]]을 통해 무한하고 [[가산 집합|가산]]임을 확인할 수 있으므로 실제로 더 큰 것은 아니다. 그러나 이러한 직관적 관찰을 좀 엄밀히 만들 필요가 있다.

== 정의 ==
자연수의 부분집합 <math>A</math>가 주어져 있을 때, <math>A</math>의 원소 중, <math>n</math> 이하의 값들의 개수를 <math>a(n)</math> 라고 하면, <math>n</math>이 무한대로 갈 때, 극한값
:<math>\lim_{n\to \infty} \frac{a(n)}{n} = \alpha</math>
이 존재하면 점근밀도 <math>\alpha</math>를 갖는다고 말한다.

=== 위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도 ===
위에서 쓰인 기호를 토대로 '''위쪽 점근 밀도'''(upper asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math> \overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{| A(n)|}{n} </math>
이때 lim sup은 [[상극한과 하극한|상극한]](limit superior)이다.

마찬가지로 '''아래쪽 점근 밀도'''(lower asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math> \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ | A(n)| }{n} </math>

만약 이 두 극한이 일치한다면, 즉 <math>\underline{d}(A)=\overline{d}(A)</math> 이라면, 이 값을 점근 밀도 <math>d(A)</math>라고 부를 수 있다.

== 예 ==
* 어떤 집합 <math>A</math>에서 점근 밀도 <math>d(A)</math>가 존재한다면 그 [[여집합]]의 점근 밀도는 <math>1- d(A)</math>가 된다.
* 당연히 <math>d(\mathbb{N})= 1</math>이다.
* 임의의 [[유한 집합]] <math>F</math>에 대해서 <math>d(F)=0</math>이다.
* 완전 제곱수의 점근 밀도는 영이다.
* 짝수 집합의 점근밀도는 1/2이다. 마찬가지로 임의의 [[등차수열]] <math>A = \{an+b | n \in \mathbb{N}\}</math>에 대해, <math>d(A)=1/a</math>임을 알 수 있다.
* 소수 집합 <math>P</math>는 [[소수 정리]]에 의해 <math>d(P)=0</math>임을 알 수 있다.
* 제곱수로 나누어지지 않는 수([[:en:Square-free integer|Square-free integer]])의 점근밀도는 <math>\textstyle \frac{6}{\pi^2}</math>이다.
* [[과잉수]](abundant numbers)의 점근밀도는 0.2474와 0.2480 사이의 값을 갖는다고 알려져 있다.

[[분류:수론]]