점근 국소 평탄 공간 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''점근 국소 평탄 공간'''(漸近局所平坦空間, {{llang|en|asympotically locally flat [ALF] space}})은 무한대에서 3차원 [[유클리드 공간]]의 [[오비폴드]] 위의 [[원군]] [[주다발]]로 수렴하는 4차원 [[초켈러 다양체]]이다.

== 정의 ==
4차원 [[초켈러 다양체]] <math>(M,g)</math>가 [[완비 리만 다양체]]이며, [[리만 곡률]]이 무한대에서 0으로 수렴하며, 다음 조건을 만족시킨다면, '''점근 국소 평탄 공간'''이라고 한다.<ref name="Foscolo">{{저널 인용|성=Foscolo|이름=Lorenzo|arxiv=1603.06315|제목=ALF gravitational instantons and collapsing Ricci‐flat metrics on the ''K''3 surface|doi=10.4310/jdg/1557281007|저널=Journal of Differential Geometry|year = 2019|mr=3948228|zbl=07054920|권=112|호=1 |쪽=79-120 | 언어=en}}</ref>{{rp|Definition 3.1}}
* 어떤 콤팩트 집합 <math>K \subsetneq M</math> 및 <math>R>0</math> 및 유한군 <math>\Gamma \le \operatorname O(3)</math> 및 [[원군]] [[주다발]] <math>\operatorname U(1)\hookrightarrow\tilde M \twoheadrightarrow (\mathbb R^3 \setminus \operatorname{ball}(R)) / \Gamma</math> 및 그 위의 [[주접속]] <math>A\in\Omega^1(\tilde M)</math>에 대하여, [[미분 동형]] <math>M \setminus K \cong \tilde M</math>이 존재하며, 이 [[미분 동형]] 아래 <math>M</math>의 리만 계량이 다음과 같은 꼴이다.
*:<math>g = g_{\mathbb R^3/\Gamma} + A^2 + \mathcal O(r^{-t})\qquad(t>0)</math>

== 분류 ==
점근 국소 평탄 공간은 사용된 유한군 <math>\Gamma \le \operatorname O(3)</math>에 의하여 분류되며, <math>\Gamma = \{1\}</math> 및 <math>\Gamma = \operatorname{Cyc}(2)</math> (2차 [[순환군]])이 가능하다. <math>\Gamma=\{1\}</math>인 경우는 '''순환군형'''(循環群型, {{llang|en|cyclic type}}) 또는 '''A형'''이라고 하며, A<sub>&minus;1</sub>, A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, …가 있다. <math>\Gamma=\operatorname{Cyc}(2)</math>인 경우는 '''정이면체군형'''(正二面體群型, {{llang|en|dihedral type}}0 또는 '''D형'''이라고 하며, D<sub>0</sub>, D<sub>1</sub>, …가 있다.

=== 순환군형 ===
순환군형은 기호로 A<sub>''n''</sub>의 꼴이며, 여기서 ''n''은 &minus;1 이상의 [[정수]]이다.
일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 [[기번스-호킹 가설 풀이]]로 구성된다. 일반적으로, 3차원 유클리드 공간 속에 <math>n+1</math>개의 점 (너트의 위치)
:<math>\vec r_0,\dotsc,\vec r_i \in\mathbb R^3</math>
을 골랐을 때, 퍼텐셜
:<math>V(\vec x) = l + \sum_{i=0}^n \frac1{2\|\vec x-\vec r_i\|}</math>
을 사용하여 [[기번스-호킹 가설 풀이]]를 구성하면 A<sub>''n''</sub>형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서 <math>l</math>은 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하며, 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다.

즉, 그 [[모듈라이 공간]]은
:<math>\mathcal M = 
\mathbb R^+\times \frac{\operatorname{Conf}(n+1,\mathbb R^3)}{\operatorname{ISO}(3;\mathbb R)}</math>
:<math>\dim \mathcal M_n = \begin{cases}
1 & n \in \{-1,0\} \\
2 & n = 1 \\
3(n-1)+1 & n \ge 2
\end{cases}</math>
이다. 이는 <math>n+1</math>개의 점 가운데, 유클리드 공간의 등거리 변환을 가한 것이다. 추가의 1차원은 <math>l</math>에 해당하며, [[리만 계량]]의 스칼라배에 해당한다.

=== 정이면체군형 ===
정이면체군형은 기호로 D<sub>''n''</sub>의 꼴이며, 여기서 ''n''은 음이 아닌 [[정수]]이다. 이 경우 여러 가지 구성이 존재한다. 특히, 퍼텐셜
:<math>V(\vec x) = l - \frac2{\|\vec x\|} + \sum_{i=1}^n\left(\frac1{2\|\vec r_i-\vec x\|}+\frac1{2\|\vec r_i+\vec x\|}\right)</math>
을 통한 [[기번스-호킹 가설 풀이]]를 생각하자. 이는 <math>\|\vec x\| \ll1</math>인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는 <math>\vec x\mapsto -\vec x</math>에 대하여 대칭이므로 <math>(\mathbb R^3 \setminus \operatorname{ball}(R)) / \operatorname{Cyc}(2)</math> 위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약 <math>l</math>이 충분히 크다면, 가운데에 D<sub>0</sub> 공간을 이어붙이면 이는 D<sub>''n''</sub> 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, D<sub>''n''</sub>이 되도록 변형할 수 있다.<ref name="Foscolo"/>{{rp|Remark 3.7}}

즉, 이 경우 마찬가지로 모듈라이 공간은
:<math>\dim\mathcal M_n = \begin{cases}
1 & n = 0 \\
2 & n = 1 \\
3n-2 & n \ge 2\\
\end{cases}</math>
여기서 한 차원은 <math>l</math>에 의한 것이며, [[리만 계량]]에 상수를 곱한 것에 해당한다.

== 성질 ==
=== 위상수학적 성질 ===
점근 국소 평탄 공간의 위상수학적 성질은 다음과 같다.<ref name="Foscolo"/>{{rp|§3.2.1, §3.2.2}}

{| class=wikitable
! 점근 국소 평탄 공간 !! [[기본군]] <math>\pi_1</math> !! [[베티 수]] <math>(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)</math>
|-
| A<sub>&minus;1</sub> || [[무한 순환군]] Cyc(∞) || (1,1,0,0,0)
|-
| A<sub>''n''</sub> (''n''≥0) || [[자명군]] 1 || (1,0,''n'',0,0)
|-
| D<sub>0</sub> || 2차 [[순환군]] Cyc(2) || (1,0,0,0,0)
|-
| D<sub>''n''</sub> (''n''≥1) || [[자명군]] 1 || (1,0,''n'',0,0)
|}

특히, A<sub>&minus;1</sub>은 <math>\mathbb R^3\times\mathbb S^1</math>이므로, 원 <math>\mathbb S^1</math>과 [[호모토피 동치]]이다. [[토브-너트 공간]] A<sub>0</sub>은 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^4</math>과 [[미분 동형]]이다.

=== 기하학적 성질 ===
점근 국소 평탄 공간의 [[킬링 벡터장]]의 수는 다음과 같다.

{| class=wikitable
! 점근 국소 평탄 공간 !! [[킬링 벡터장]]의 수
|-
| A<sub>&minus;1</sub> || 4
|-
| A<sub>0</sub> || 4
|-
| A<sub>1</sub> || 2
|-
| A<sub>''n''</sub> (''n''≥2) || 1 
|-
| D<sub>0</sub> || 3
|}
이는 ISO(3)의 군의 작용의 [[안정자군]]의 차원 + 원다발 올 방향의 킬링 벡터 1개로 계산할 수 있다.

== 예 ==
* A<sub>&minus;1</sub>형 점근 국소 평탄 공간은 <math>\mathbb R^3 \times \mathbb S^1</math>이다.
* A<sub>0</sub>형 점근 국소 평탄 공간은 [[토브-너트 공간]]이다.
* D<sub>0</sub>형 점근 국소 평탄 공간은 [[아티야-히친 공간]]이다.
* D<sub>1</sub>형 점근 국소 평탄 공간의 [[모듈라이 공간]]은 ([[리만 계량]]에 상수를 곱하는 것을 제외하면) 3차원이다. 이 모듈라이 공간의 한 점은 [[아티야-히친 공간]]의 2겹 [[범피복 공간]]이다.

== 응용 ==
점근 국소 평탄 공간은 [[일반 상대성 이론]]과 [[끈 이론]]에 자주 등장한다. 이는 이들이 [[초켈러 다양체]]이므로, 초대칭 게이지 이론의 [[모듈라이 (물리학)|모듈라이 공간]]이나 일반 상대성 이론의 해를 이루기 때문이다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:끈 이론]]