절두체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다면체 정보
| name          = 각뿔 절두체의 집합
| image         = [[파일:Pentagonal frustum.svg|110px]][[파일:Usech kvadrat piramid.png|110px]]
| caption       = 예시: 오각과 사각뿔 절두체
| faces         = [[사다리꼴]] ''n''개, [[다각형|''n''각형]] 2개
| edges         = 3''n''
| vertices      = 2''n''
| symmetry      = [[대칭군 (기하학)#삼차원|C<sub>''n''v</sub>]], [1,''n''], (*''nn'')
| dual          = 
| properties    = 볼록
}}

[[기하학]]에서 '''절두체'''(frustum){{ref|1}}는 [[다면체|입체]](보통 [[원뿔]]이나 [[각뿔]])를 절단하는 하나나 두 [[평행면]] 사이의 부분이다. '''직 절두체'''는 [[직각뿔]]을 평행하게 [[깎기 (기하학)|깎은]] 것이다.<ref>William F. Kern, James R Bland,''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.67</ref>

[[컴퓨터 그래픽스]]에서 [[뷰잉 프러스텀]]은 스크린에서 볼 수 있는 삼차원 영역이다. 이것은 [[자르기 (컴퓨터 그래픽스)|잘라낸]] 각뿔으로 만들어진다; 특히, ''[[절두체 컬링]]''은 [[은면 검출]]의 방법이다.

[[항공 우주 산업]]에서, 절두체는 ([[세턴 V]] 같은) 두 단계의 [[다단계로켓]] 간의 [[깎기 (기하학)|깎은]] 원뿔 형태의 [[페이로드 페어링|페어링]]이다.

[[변추이|모든 모서리의 길이를 같게]] 할 때, 절두체는 고른 [[각기둥]]이 된다.

== 원소, 특별한 경우, 그리고 관련 개념 ==
[[파일:Square frustum.png|섬네일|200px|사각뿔 절두체]]
[[파일:Triangulated monorectified tetrahedron.png|섬네일|200px|[[정팔면체]]는 세 면에 정사면체를 붙여서 삼각 절두체로 만들 수 있다]]
각 평면의 부분은 절두체의 바닥이나 밑면이다. 축이 있다면, 이것은 원본인 원뿔이나 각뿔의 축이다. 원형 밑면을 가지면 그 절두체는 원형이다; 축이 양 면에 수직하면 이것은 직 절두체이고 아니면 빗 절두체이다.

절두체의 높이는 두 밑면의 평면의 수직거리이다.

원뿔과 각뿔은 절단면이 [[꼭대기 (기하학)|꼭대기]]를 지나는(밑면이 점으로 줄어든) 절두체의 축퇴된 경우로 볼 수 있다. 각뿔 절두체는 [[기둥형 다면체]]의 부분 그룹이다.

두 절두체의 밑면을 붙이면 [[붙인 절두체]]를 만든다.

== 공식 ==

=== 부피 ===
정사각뿔의 절두체의 부피 공식은 [[이집트 제13왕조]](약 1850 BC)에 쓰인 [[모스크바 수학 파피루스]]라고 불리는 고대 [[이집트 수학]]에서 발견되었다:
:<math>V = \frac{1}{3} h(a^2 + a b +b^2).</math>
여기서 ''a''와 ''b''는 깎은 각뿔의 밑면과 윗면의 변의 길이이고, ''h''는 높이이다.
이집트인들은 깎은 정사각뿔의 부피를 얻는 공식을 알았지만, 모스크바 파피루스에서 주어진 이 공식에 대한 증명은 없다.

원뿔 또는 각뿔 절두체의 [[부피]]는 잘라내기 전의 입체의 부피에서 꼭대기의 부피를 뺀 것이다:
:<math>V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}</math>
이 때 ''B''<sub>1</sub>은 밑면의 넓이이고, ''B''<sub>2</sub>는 다른 밑면의 넓이이며, ''h''<sub>1</sub>, ''h''<sub>2</sub>는 꼭대기로부터 각각의 밑면까지의 수직거리이다.

다음을 고려하자
:<math>\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha</math>
부피의 공식은 비례 상수 α/3와 ''h''<sub>1</sub>과 ''h''<sub>2</sub> [[인수분해#두 세제곱의 합과 차|세제곱의 차]]의 곱 만으로 표현할 수 있다.
:<math>V = \frac{h_1 a h_1^2 - h_2 a h_2^2}{3} = \frac{a}{3}(h_1^3 - h_2^3)</math>

두 세제곱의 차를 인수분해 해서 ( a<sup>3</sup> - b<sup>3</sup> = (a-b)(a<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>) ) 절두체의 높이 ''h''<sub>1</sub>−''h''<sub>2</sub> = ''h''를 얻을 수 있고 α(''h''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''h''<sub>1</sub>''h''<sub>2</sub> + ''h''<sub>2</sub><sup>2</sup>)/3을 얻을 수 있다.

α를 분배하고 그 정의를 대입하면, 넓이 ''B''<sub>1</sub>과 ''B''<sub>2</sub>의 [[헤론 평균]]을 얻을 수 있다. 따라서 다른 공식은 다음과 같다:
:<math>V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)</math>
[[헤론]]은 이 식을 도출하는데 주목하고 그 가운데 마이너스 일의 제곱근인 [[허수]]와 마주하게 되었다.<ref>Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of [the square root of minus one]." Princeton University Press. 1998</ref>

특히, 원형 원뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:
:<math>V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)</math>
여기서 [[원주율|''π'']]는 3.14159265...,이고 ''R''<sub>1</sub>, ''R''<sub>2</sub>는 두 밑면의 [[반지름]]이다.

[[파일:Frustum with symbols.svg|오른쪽|x200px|각뿔 절두체.]]
밑면이 정''n''각형인 각뿔 절두체의 부피는 다음과 같다:
:<math>V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n}</math>
여기서 ''a''<sub>1</sub>과 ''a''<sub>2</sub>는 두 밑면의 변의 수이다.

=== 표면적 ===
직원뿔 절두체에 대해서<ref>{{웹 인용|url=http://www.mathwords.com/f/frustum.htm |title=Mathwords.com: Frustum |accessdate=17 July 2011}}</ref>
:<math>\begin{align}\text{옆 면  표 면 적}&=\pi(R_1+R_2)s\\
&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}</math>
이고
:<math>\begin{align}\text{총  표 면 적}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\
&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}</math>
이 때, ''R''<sub>1</sub>과 ''R''<sub>2</sub>는 각각 밑면과 윗면의 반지름이고, ''s''는 절두체의 모선 길이이다.

밑면이 닯은 [[다각형|''n''각형]]인 직 절두체의 표면적은 아래와 같다:
:<math>A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]</math>
여기서 ''a''<sub>1</sub>과 ''a''<sub>2</sub>는 두 밑면의 변의 개수이다.

== 예시 ==
* [[미국 1달러 지폐]]의 뒷면에, [[미국의 국장]] 반대편에 [[전시안]]이 그려진 각뿔 절두체가 나타난다.
* 일부 고대 [[아메리카 원주민]]의 둑은 각뿔의 절두체 모양을 하고 있다.
* [[중국의 피라미드]].
* [[일리노이주]]의 [[시카고]]에 있는 [[존 핸콕 센터]]는 밑면이 직사각형인 절두체이다.
* [[워싱턴 기념탑]]은 좁은 정사각형을 밑면으로 하는 절두체 위에 작은 각뿔을 올린 것이다.
* [[3D 컴퓨터 그래픽스]]의 [[뷰잉 프러스텀]]은 각뿔 절두체로 모델링 된 가상 사진이나 비디오 카메라의 사용 가능한 [[시야]]이다.
* [[스타니스와프 렘]]의 단편소설 모음집 ''[[The Cyberiad]]''의 [[영어]] 번역본에서, 시 ''Love and [[텐서 대수|tensor algebra]]''에서는 claims that "모든 절두체는 원뿔을 갈망한다(every frustum longs to be a cone)"라고 주장하였다.
* [[바구니]]와 특정한 [[전등갓]]은 원뿔 절두체의 일상적인 예시이다.
* 유리잔이나 어떤 [[우주 왕복선]]또한 그 예시이다.

== 참조 ==
:1.{{note|1}}"frustum"이라는 용어는 ''조각, 단편''이라는 뜻을 가지는 [[라틴어]] ''[[wikt:en:frustum#Latin|frustum]]''에서 왔다. 영어 단어는 종종 ''{{sic|hide=y|frus|trum}}''으로 철자를 틀리는데, 이 라틴어 단어는 영어 단어 "좌절하다(frustrate)"에 대응한다.<ref>{{인용|title=Teachers' Manual: Books I-VIII.. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7-8|first=John Spencer|last=Clark|publisher=Prang Educational Company|year=1895|page=49|url=https://books.google.com/books?id=83EBAAAAYAAJ&pg=PA49}}.</ref> 이 두 단어간의 혼동은 매우 오래되었다: 용어에 대한 주의는 ''[[Appendix Probi]]''에서도 찾아볼 수 있고, [[플라우투스]]의 작품에도 그에 관한 말장난이 있다.<ref>{{인용|title=Funny Words in Plautine Comedy|first=Michael|last=Fontaine|publisher=Oxford University Press|year=2010|isbn=9780195341447|url=https://books.google.com/books?id=SFPUvjlSUIsC&pg=PA117|pages=117, 154}}.</ref>

== 각주 ==
{{각주|30em}}

== 외부 링크 ==
{{위키낱말사전|frustum}}
{{위키공용분류}}
* [https://web.archive.org/web/20090304161652/http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-volume-of-a-frustum Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone] (Mathalino.com)
* {{매스월드 |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal frustum}}
* {{매스월드 |urlname=ConicalFrustum |title=Conical frustum}}
* [http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=truncated%20pyramids%20of%20the%20same%20height Paper models of frustums (truncated pyramids)]
* [http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=tapared%20cylinder Paper model of frustum (truncated cone)]
* [http://www.verbacom.com/cone/cone.php Design paper models of conical frustum (truncated cones)]

{{다면체 탐색기}}

[[분류:다면체]]
[[분류:기둥형 다면체]]