절대 연속 측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''절대 연속 측도'''(絶對連續測度, {{llang|en|absolutely continuous measure}})는 어떤 주어진 [[측도]]에 일종의 ‘무게’를 주어 얻을 수 있는 측도이다. 이에 따라, 원래 측도의 값이 0이면, 이에 대한 절대 연속 측도의 값 역시 0이어야 한다. 이 경우, 이 ‘무게’는 '''라돈-니코딤 도함수'''(Radon-Nikodym導函數, {{llang|en|Radon–Nikodym derivative}})라고 하며, [[미적분학]]에서의 [[도함수]]의 개념의 일반화이다. 라돈-니코딤 도함수의 존재를 '''라돈-니코딤 정리'''(Radon-Nikodym定理, {{llang|en|Radon–Nikodym theorem}})라고 한다. 이에 따라, 절대 연속성은 일종의 [[미적분학의 기본 정리]]가 성립할 [[필요 조건]]이다.

== 정의 ==
[[시그마 대수]] <math>\mathcal F</math> 위의 두 [[측도]] <math>\mu</math>, <math>\nu</math>가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>\mu</math>가 '''<math>\nu</math>-절대 연속 측도'''라고 하며, <math>\mu\ll\nu</math>로 표기한다.<ref name="Cohn">{{서적 인용|이름=Donald L.|성=Cohn|제목=Measure theory|url=https://archive.org/details/measuretheorysec0000dona|판=2|doi=10.1007/978-1-4614-6956-8|날짜=2013|총서=Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher|issn=1019-6242|출판사=Birkhäuser|언어=en}}</ref>{{rp|122, §4.2}}<ref name="AL">{{서적 인용 | last=Athreya | first=Krishna B. | 이름2=Soumendra N. |성2=Lahiri | title = Measure theory and probability theory | publisher = Springer-Verlag | 날짜 = 2006 | isbn=978-0-387-32903-1 |doi= 10.1007/978-0-387-35434-7| 총서=Springer Texts in Statistics | 언어=en}}</ref>
:<math>\forall S\in\mathcal F\colon(\nu(S)=0\implies\mu(S)=0)</math>
즉, <math>\nu</math>-[[영집합]]이 항상 <math>\mu</math>-[[영집합]]이어야 한다. (대략, 이는 라돈-니코딤 도함수 <math>\mathrm d\mu/\mathrm d\nu</math>에서, “분자”가 0이 아니라면 “분모” 역시 0이 아니어야 함으로 생각할 수 있다.)

부호 측도({{llang|en|signed measure}}) <math>\mu=\mu_+-\mu_-</math>의 경우, 만약 <math>|\mu|=\mu_++\mu_-</math>가 <math>\nu</math>-절대 연속 측도라면 <math>\mu</math>역시 <math>\nu</math>-절대 연속 측도라고 한다.<ref name="Cohn"/>{{rp|125, §4.2}}

보통 <math>\nu</math>는 ([[유클리드 공간]]의 경우) [[르베그 측도]]나<ref name="Cohn"/>{{rp|122, §4.2}} ([[위상군]]의 경우) [[왼쪽 하르 측도]]를 사용한다.

== 성질 ==
=== 라돈-니코딤 정리 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>
* [[시그마 유한 측도]] <math>\nu\colon\mathcal F\to[0,\infty]</math>
* [[시그마 유한 측도]] <math>\mu\colon\mathcal F\to[0,\infty]</math>. 또한, <math>\mu\ll\nu</math>라고 하자.
'''라돈-니코딤 정리'''({{llang|en|Radon–Nikodym theorem}})<ref name="Cohn"/>{{rp|123, Theorem 4.2.2}}<ref name="AL"/>{{rp|115, Theorem 4.1.1(ii)}}에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 [[가측 함수]]
:<math>\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}\colon(X,\mathcal F)\to\left([0,\infty),\mathcal B([0,\infty))\right)</math>
가 존재한다.
:<math>\forall S\in\mathcal F\colon \mu(S)=\int_S\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}\;\mathrm d\nu</math>
(여기서 <math>\mathcal B([0,\infty)</math>는 음이 아닌 실수의 [[보렐 시그마 대수]]이다.) 이 조건을 만족시키는 [[가측 함수]]를 '''라돈-니코딤 도함수'''라고 한다. 또한, 라돈-니코딤 도함수는 <math>\nu</math>-[[거의 어디서나]] 유일하다. 즉, 위 데이터에 대한 두 라돈-니코딤 도함수 <math>f</math>, <math>f'</math>에 대하여, <math>\{x\in X\colon f(x)\ne f'(x)\}</math>는 <math>\nu</math>-[[영집합]]이다.

위 조건에 의하여, 임의의 <math>\nu</math>-적분 가능 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음이 추가로 성립한다.
:<math>\int_Xf\;\mathrm d\nu=\int_Xf\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\;\mathrm d\mu</math>

=== 라돈-니코딤 도함수의 성질 ===
[[가측 공간]] <Math>(X,\mathcal F)</math> 위의 세 [[시그마 유한 측도]] <math>\mu,\nu,\lambda</math>가 주어졌으며,
:<math>\mu\ll\lambda</math>
:<math>\nu\ll\lambda</math>
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
: <math> \frac{\mathrm d(\nu+\mu)}{\mathrm d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}{d\lambda}\qquad(\lambda\text{-a.e.})</math>

[[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math> 위의 세 [[시그마 유한 측도]] <math>\mu,\nu,\lambda</math>가 주어졌으며,
:<math>\nu\ll\mu\ll\lambda</math>
일 경우, 다음이 성립한다.
: <math> \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}\qquad(\lambda\text{-a.e.})</math>
특히, 만약 <Math>\nu=\lambda</math>인 경우 (즉, <math>\mu\ll\nu\ll\mu</math>), 다음이 성립한다.
: <math> \frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}=\left(\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\right)^{-1}\quad\nu\text{-a.e.}</math>

보다 일반적으로, 유한 복소측도
:<math>\mu\colon\mathcal F\to\mathbb C</math>
및 [[시그마 유한 측도]]
:<math>\nu\colon\mathcal F\to[0,\infty]</math>
에 대하여, 만약
:<math>\mu\ll\nu</math>
라면, 다음이 성립한다.
:<math>\frac{\mathrm d|\nu|}{\mathrm d\mu} = \left|\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\right|</math>

=== 실수선 위의 절대 연속 측도 ===
실수 [[닫힌구간]] 위에 정의된 [[증가 함수]]
:<math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
:<math>\forall x,y\in[a,b]\colon f(x)\le f(y)</math>
가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 <math>\delta_\epsilon\in\mathbb R^+</math>가 존재한다면, <math>f</math>를 '''절대 연속 함수'''(絶對連續函數, {{llang|en|absolutely continuous function}})라고 한다.<ref name="AL"/>{{rp|128, Definition 4.4.1}}
:임의의 실수열 <math>a\le\dotsb<x_{-1}<y_{-1}\le x_0<y_0\le x_1<y_1\le x_2<y_2\dotsb\le b</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\sum_k(y_k-x_k)<\delta_\epsilon</math>이라면, <math>\textstyle \sum_k |f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon</math>이다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="AL"/>{{rp|131, Theorem 4.4.3}}
* [[르베그-스틸티어스 측도]] <math>\mathrm df</math>가 ([[르베그 측도]]에 대하여) 절대 연속 측도이다.
* 임의의 [[닫힌구간]] <math>[a,b]</math>에 대하여, <math>f\restriction[a,b]</math>는 절대 연속 함수이다.

절대 연속 함수는 항상 [[연속 함수]]이며, [[거의 어디서나]] 도함수를 갖는다. 이 도함수는 <math>\mu</math>의 라돈-니코딤 도함수에 의하여 주어진다. 또한, 정의에 따라 이는 [[르베그 적분]] 가능 함수이며, 그 적분은 <math>f</math>와 일치한다 ([[미적분학의 기본 정리]]). 정의에 따라, 모든 [[립시츠 연속 함수]]는 절대 연속 함수이다.

== 예 ==
[[칸토어 함수]]
:<math>f\colon[0,1]\to[0,1]</math>
는 [[연속 함수]]이지만 절대 연속 함수가 아니다. 즉, 그 [[르베그-스틸티어스 측도]]는 절대 연속 측도가 아니다.

=== 비(非) 시그마-유한 측도에 대한 라돈-니코딤 정리의 실패 ===
라돈-니코딤 정리는 일반적으로 [[시그마 유한 측도]]가 아닌 절대 연속 측도에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어,<ref name="Cohn"/>{{rp|125, Example 4.2.3}}<ref name="AL"/>{{rp|117, Remark 4.1.1}} [[보렐 시그마 대수]]를 부여한 [[닫힌구간]] <Math>[0,1]</math> 위의 [[셈측도]]
:<math>\mu\colon\mathcal B([0,1])\to[0,\infty]</math>
는 ([[르베그 측도]]에 대하여) 절대 연속 측도이다. 그러나 이는 라돈-니코딤 도함수를 갖지 않는다. 즉,
:<math>\nu(S)=\int_Sf\;\mathrm d\mu\qquad\forall S\in\mathcal B([0,1])</math>
가 성립하는 [[가측 함수]] <math>f\colon[0,1]\to[0,\infty)</math>가 존재하지 않는다.

== 역사 ==
라돈-니코딤 정리의 경우, 1913년에 [[요한 라돈]]이 [[유클리드 공간]]의 경우에 대하여 증명하였으며,<ref>{{저널 인용|성=Radon|이름=J.|저자링크=요한 라돈|날짜=1913-07|제목=Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen|저널=Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Sitzungsberichte, Abteilung IIa: Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie und Technik|권=122|쪽=1295–1438|jfm=44.0464.03|url=https://catalog.hathitrust.org/Record/008892713|언어=de}}</ref> 이를 [[오톤 마르친 니코딤]]이 1930년에 일반적인 [[가측 공간]]에 대하여 일반화하였다.<ref>{{저널 인용 |last=Nikodym |first=O. |저자링크=오톤 마르친 니코딤 |title=Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15114.pdf |journal=Fundamenta Mathematicae |날짜=1930 |volume=15 |pages=131–179 |jfm=56.0922.01 |언어=fr |확인날짜=2017-02-04 |보존url=https://web.archive.org/web/20160909035959/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15114.pdf |보존날짜=2016-09-09 |url-status=dead }}</ref>

== 응용 ==
라돈-니코딤 정리는 [[확률론]]에서 단일한 공간에 대해 정의된 여러 개의 [[확률 측도]]를 연결할 때 매우 중요하게 쓰인다. 가령, 라돈-니코딤 정리는 [[조건부 기댓값]]의 존재성을 증명한다.

[[금융공학]]에서는 [[기르사노프 정리]]를 통해 실제 측도에서 [[위험중립측도]]를 도출해내는 데에 라돈-니코딤 정리가 쓰이기도 한다. [[파생상품]]의 경우 대부분 [[위험중립측도]]가 존재해야만 적정 가격을 구할 수 있기 때문에 [[위험중립측도]]가 파생 상품 가격 결정에서 차지하는 중요성은 상당하다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=An elementary treatment of the Radon-Nikodym derivative|이름=Richard C.|성=Bradley|저널=The American Mathematical Monthly|권=96|호=5|날짜=1989-05|쪽=437–440|jstor=2325153|doi=10.2307/2325153|issn=0002-9890|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Absolute continuity}}
* {{eom|title=Absolutely continuous measures}}
* {{eom|title=Radon-Nikodým theorem}}
* {{eom|title=Differentiation of measures}}
* {{매스월드|id=AbsolutelyContinuous|title=Absolutely continuous|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{매스월드|id=Radon-NikodymDerivative|title=Radon-Nikodym derivative|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{매스월드|id=Radon-NikodymTheorem|title=Radon-Nikodym theorem|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{nlab|id=absolutely continuous measure|title=Absolutely continuous measure}}
* {{nlab|id=Radon–Nikodym derivative}}

[[분류:측도론]]
[[분류:연속 함수]]