절대평탄환 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''절대평탄환'''(絶對平坦環, {{llang|en|absolutely flat ring}}) 또는 '''폰 노이만 정칙환'''(正則環, {{llang|en|von Neumann regular ring}}, 약자 VNR환)은 모든 원소가 ‘[[가역원]]에 근접하여’ 모든 [[가군]]이 [[평탄 가군]]이 되는 [[환 (수학)|환]]이다.

== 정의 ==
(항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 속의 원소 <math>r\in R</math>의 '''약역원'''(弱逆元, {{llang|en|weak inverse element}})은 다음 조건을 만족시키는 원소 <math>s\in R</math>이다.
:<math>r = rsr </math>
만약 <math>r</math>가 [[가역원]]이라면, 그 약역원은 역원 <math>s=r^{-1}</math> 밖에 없다. 그러나 가역원이 아닌 원소는 여러 개의 약역원들을 가질 수 있다. 특히, 0은 모든 원소를 약역원으로 갖는다. 이 경우, <math>rs=(rs)^2</math> 및 <math>sr=(sr)^2</math>는 [[멱등원]]을 이룬다. <math>r</math>가 <math>s</math>의 약역원이라도, <math>s</math>가 <math>r</math>의 약역원일 필요는 없다. (예를 들어, 임의의 원소는 0의 약역원이지만, 0을 약역원으로 갖는 원소는 0 밖에 없다.)

(항등원을 갖는) 환 <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''절대평탄환''' 또는 '''폰 노이만 정칙환'''이라고 한다.
* <math>R</math>의 모든 [[왼쪽 가군]]은 [[평탄 왼쪽 가군]]이다.
* <math>R</math>의 모든 [[오른쪽 가군]]은 [[평탄 오른쪽 가군]]이다.
* <math>R</math>의 모든 원소는 (적어도 하나 이상의) 약역원을 갖는다.
* <math>R</math>의 모든 [[주 왼쪽 아이디얼]]은 어떤 [[멱등원]]에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>Rr = Re</math>이며 <math>e=e^2</math>인 원소 <math>e\in R</math>가 존재한다.
* <math>R</math>의 모든 [[주 오른쪽 아이디얼]]은 어떤 [[멱등원]]에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>rR = eR</math>이며 <math>e=e^2</math>인 원소 <math>e\in R</math>가 존재한다.

== 성질 ==
[[가환환]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 절대평탄환이다.
* 그 위의 모든 [[단순 가군]]이 [[단사 가군]]이다.

=== 함의 관계 ===
절대평탄환인 [[정역]]은 [[체 (수학)|체]] 밖에 없다. 모든 [[나눗셈환]]은 절대평탄환이다.

[[불 대수]]는 ([[가환환]]으로 간주하였을 때) 절대평탄환이다. (이는 [[불 대수]]에서 모든 원소가 [[멱등원]]이기 때문이다.)

=== 연산에 대한 닫힘 ===
절대평탄환 <math>K</math>와 자연수 <math>n</math>에 대하여, [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>은 역시 절대평탄환이다.

== 역사 ==
이 개념은 [[존 폰 노이만]]이 ‘정칙환’({{llang|en|regular ring}})이라는 이름으로 1936년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=von Neumann | first1=John | author1-link=존 폰 노이만 | title=On regular rings | doi=10.1073/pnas.22.12.707 | jfm=62.1103.03 | year=1936 | journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | volume=22 | pages=707–712 | pmid=16577757 | issue=12 | pmc=1076849 | zbl=0015.38802 | 언어=en }}</ref> 그러나 그 뒤 ‘[[정칙환]]’이라는 용어는 다른 뜻으로 쓰이게 되었으며, 혼동을 피하기 위하여 ‘폰 노이만 정칙환’({{llang|en|regular ring in the sense of von Neumann}}, {{lang|en|von Neumann regular ring}}) 또는 ‘절대평탄환’({{llang|en|absolutely regular ring}}) 등의 용어로 대체되었다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Regular ring (in the sense of von Neumann)}}
* {{매스월드|이름=Margherita|성=Barile|id=vonNeumannRegularRing|title=Von Neumann regular ring}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2010/10/22/von-neumann-regualr-rings-1/ | 제목=von Neumann Regular rings (1) | 날짜=2010-10-22 | 이름= Yaghoub | 성=Sharifi |웹사이트=Abstract Algebra | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2010/10/22/von-neumann-regular-rings-2/ | 제목=von Neumann Regular rings (2) | 날짜=2010-10-22 | 이름= Yaghoub | 성=Sharifi |웹사이트=Abstract Algebra | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2010/10/31/von-neumann-regular-rings-3/ | 제목=von Neumann Regular rings (3) | 날짜=2010-10-31 | 이름= Yaghoub | 성=Sharifi |웹사이트=Abstract Algebra | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]
[[분류:존 폰 노이만]]