전해석 함수 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''전해석 함수'''({{lang|ko-Hani|全解析函數}}, {{lang|en|entire function}}) 또는 '''정함수'''({{lang|ko-Hani|整函數}}, {{lang|en|integral function}})란 [[복소평면]]의 모든 점에서 해석적인 [[복소함수]]를 말한다. 전해석함수는 [[함수|다항함수]](polynomial)와 '''초월 전해석 함수'''(다항함수가 아닌 전해석 함수, transcendental entire function)로 구분할 수 있다.

== 정의 ==
함수 <math>f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} </math> 가 복소 평면 <math>\mathbb{C} </math> 위의 모든 점에서 해석적이면 <math> f</math>를 '''전해석 함수'''라고 한다. 그러므로 전해석 함수는 복소 평면 위의 모든 점에서 무한번 [[미분가능]]한 함수이고, [[테일러 급수]]로 나타낼 수 있으며, [[코시-리만 방정식]]을 만족하는 복소 함수이다.

전해석 함수를 [[급수 (수학)|급수]]로 나타냈을 때 [[유한 급수]]인 것이 '''[[다항식|다항 함수]]'''이고, 무한 급수로 나타나는 것이 '''초월 전해석 함수'''이다.

== 성질 ==
=== 리우빌 정리 ===
{{본문|리우빌 정리 (복소해석학)}}
[[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]에 따르면, [[유계 함수]]인 전해석 함수는 [[상수 함수]]뿐이다. [[유계]](bounded)는 전해석함수의 중요한 특성을 나타내고 있다. 이 정리에 따라 상수함수가 아닌 전해석함수는 반드시 무한점, <math>\infty</math>를 [[특이점 (해석학)|특이점]](singular point)으로 갖는다. 무한 특이점은 [[극점 (복소해석학)|극점]] 또는 [[본질적 특이점]](essential singularity)이며, 무한 특이점에서 [[극값|극]](극점)을 갖는 전해석 함수는 [[함수|다항함수]]이고, [[본질적 특이점]]을 갖는 함수는 초월 전해석 함수이다.

=== 피카르의 정리 ===
{{본문|피카르의 정리}}
[[피카르의 소정리]]에 따르면, [[상수 함수]]가 아닌 전해석 함수는 하나 이하의 값을 제외한 모든 복소수 <math> c \in \mathbb{C}</math>를 함수값으로 취한다. 그렇지 않은 값이 있다면 그 수는 하나뿐이다. 즉 <math> f</math> 가 상수 함수가 아닌 전해석 함수이면 모든 복소수 <math> c \in \mathbb{C}</math>에 대해 <math> f (z)=c</math> 인 점 <math> z \in \mathbb{C}</math>가 존재하며 그렇지 않은 점 <math>c</math>는 기껏해야 하나뿐이라는 것이다. 예를 들어 <math> e^z=c</math>는 <math>c=0</math> 인 경우를 제외하고 항상 해를 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌 정리보다 수학적으로 강한 의미를 갖는다.

== 예 ==
<math> f(z)=1+2z-3z^2</math>는 [[함수|다항함수]]이고, <math> e^z =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n</math> 은 초월 전해석 함수이다. 둘 다 전해석 함수를 이룬다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Entire function}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:해석 함수]]