전파 인자 문서 원본 보기

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{{양자장론}}
[[양자역학]]과 [[양자장론]]에서 '''전파 인자'''(電波因子, {{lang|en|propagator}}) 또는 '''퍼뜨리개'''는 [[입자]]가 (위치 또는 운동량 [[기저]]의) 한 상태에서 다른 상태로 [[시간 변화]]를 겪을 [[확률 진폭]]이다. 입자의 [[파동 방정식]]의 [[그린 함수]]다. [[양자장론]]에서는, 상호작용을 고려하면 매우 복잡하므로, 대개 [[라그랑지언]]의 자유항만을 고려하여 계산한 것을 지칭한다. 상호작용은 자유 전파 인자를 포함하는 [[파인먼 도형]]으로써 나타낸다.

== 정의 ==
[[파동 방정식]]
:<math>\hat O\psi(x,t)=0</math>
을 따르는 장 <math>\psi(x,t)</math>를 생각하자. 여기서 <math>\hat O</math>는 <math>x</math>와 <math>t</math>에 대한 [[미분 연산자]]다. 이 때, 전파인자 <math>K(x,t;x',t')</math>는 다음을 만족한다.
:<math>\hat OK(x,t;x',t')=-\delta(x-x')\delta(t-t')</math>.
즉 파동 방정식 연산자의 [[그린 함수]]다. 이는 간혹 유일하지 않을 수 있는데, 이 경우 적절한 [[경계 조건]]을 가한다.

=== 비상대론적 입자 ===
비상대론적 입자는 [[슈뢰딩거 방정식]]을 따른다. 따라서, 그 전파인자는 슈뢰딩거 방정식의 그린 함수이다. [[물리계|계]]의 [[해밀토니안]]을 <math>H</math>로 쓰면, 입자가 <math>x',t'</math>에서 <math>x,t</math>로 이동할 확률진폭을 나타내는 전파인자 <math>K(x,t; x',t')</math>는 다음을 만족한다.
:<math>\left(-iH/\hbar-\frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x',t') =-i \hbar\delta(x-x')\delta(t-t')</math>.
따라서, [[시간 변화]] 연산자
:<math>U(t,t')=\exp\left(-i/\hbar\int_t^{t'}H\;dt\right)</math>
에 대하여 다음을 만족한다.
:<math>K(x,t;x',t') = \langle x | \hat{U}(t,t') | x'\rangle </math>
즉, 전파인자는 시간 변화에 대한 [[확률 진폭]]이다.

초기 상태가 주어지면, 그 시간 변화를 전파 인자로 나타낼 수 있다.
:<math>\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t' ) K(x,t; x', t') dx'</math>

전파 인자를 [[경로 적분]]으로 정의할 수도 있다. 계의 [[라그랑지언]] <math>L</math>이 주어지면,
:<math>K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q},q,t) dt\right] D[q(t)]</math>.
여기서 [[경계조건]]은 <math>q(t)=x, q(t')=x'</math>이다.

=== 상대론적 스칼라 입자 ===
상대론적 [[스칼라]] (스핀 0) 입자의 파동 방정식은 [[클라인-고든 방정식]]이다. 따라서, 전파 인자는 클라인-고든 방정식의 그린 함수이다. 위치 공간에서 전파 인자 <math>G(x,y)</math>는 다음과 같다.
:<math>(\square_x^2 + m^2)G(x,y)=-\delta(x-y)</math>
푸리에 변환으로, 이를 운동량공간으로 고쳐 쓸 수 있다.
:<math>G(x,y) = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2}</math>
그러나 [[민코프스키 공간]]에서는 이 적분이 [[극 (복소해석학)|극]](極)을 가지므로, 적분을 제대로 정의할 수 없다. 따라서 분모에 무한소의 작은 값을 더하여 적분 경로를 명확히 하는데, 이에는 여러 가지 방법이 있다.

'''뒤처진 전파 인자'''({{lang|en|retarded propagator}}):
:<math>G_{ret}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) - \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, x \prec y \\
0 & \textrm{otherwise}
\end{matrix} \right.</math>

여기서
:<math>\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}</math>
는 <math>x</math>에서 <math>y</math> 간의 [[고유시간]]이고, <math>J_1</math>는 [[제1종 베셀함수]]이다.

'''앞선 전파 인자'''({{lang|en|advanced propagator}}):
:<math>G_{adv}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix}
-\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, y \prec x \\
0 & \textrm{otherwise}.
\end{matrix} \right.</math>

'''파인먼 전파 인자''':
:{|
|-
|<math> \ G_F(x,y) </math>
|<math> \ = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}  </math>
|-
|
|<math> \ = \left \{ \begin{matrix}
-\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & \textrm{ if }\, s \geq 0 \\
 -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & \textrm{if }\, s < 0.
\end{matrix} \right. </math>
|}

이를 운동량 공간으로 [[푸리에 변환]]하면 훨씬 더 간단하다.

:<math>\tilde{G}_{ret}(p) = \frac{1}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>
:<math>\tilde{G}_{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>
:<math>\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}. </math>

=== 디랙 입자 ===
[[디랙 방정식]]을 따르는 입자의 전파 인자는 다음과 같다.
:<math>\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\epsilon} = {1 \over p\!\!\!/ - m + i\epsilon} </math>
위치 공간에서는 다음과 같다.
:<math>S_F(x-y) = \int{{d^4 p\over (2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} }\, {(\gamma^\mu p_\mu + m) \over p^2 - m^2 + i \epsilon}
= \left({\gamma^\mu (x-y)_\mu \over |x-y|^5}
+ {  m \over |x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|).
</math>

=== 벡터 입자 ===
[[광자]]의 전파 인자는 다음과 같다. (파인먼 게이지)
:<math>{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\epsilon }</math>

== 같이 보기 ==
* [[양자역학]]
* [[양자장론]]

== 참고 문헌 ==
* [[James Bjorken|Bjorken, J.D.]], [[Sidney Drell|Drell, S.D.]], ''Relativistic Quantum Fields'' (Appendix C.), New York: McGraw-Hill 1965, {{ISBN|0-07-005494-0}}.
* [[니콜라이 보골류보프|N. N. Bogoliubov]], Dmitry V. Shirkov, ''Introduction to the theory of quantized fields'', Wiley-Interscience, {{ISBN|0-470-08613-0}} (Especially pp.&nbsp;136–156 and Appendix A)
* Edited by [[Cécile DeWitt|DeWitt, Cécile]] and [[Bryce DeWitt|DeWitt, Bryce]], ''Relativity, Groups and Topology'', (Blackie and Son Ltd, Glasgow), Especially p615-624, {{ISBN|0-444-86858-5}}
* {{서적 인용|성=Griffiths|이름=David J.|제목=Introduction to Elementary Particles|url=https://archive.org/details/introductiontoel0000grif_o7r4|위치=New York|출판사=John Wiley & Sons|연도=1987|ISBN=0-471-60386-4}}
* {{저널 인용|성=Halliwell|이름=J.J.|공저자=Orwitz, M.|제목=Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology|arxiv=gr-qc/9211004}}
* {{서적 인용|이름=Kerson|성=Huang|제목=Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals|url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000huan|위치=New York|출판사=John Wiley & Sons|연도=1998|ISBN=0-471-14120-8}}
* Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard ''Quantum Field Theory'', New York: McGraw-Hill, 1980. {{ISBN|0-07-032071-3}}
* {{서적 인용|성=Pokorski|이름=Stefan|제목=Gauge Field Theories|url=https://archive.org/details/gaugefieldtheori0000poko|위치=Cambridge|출판사=Cambridge University Press|연도=1987ISBN=0-521-36846-4}}
* Schulman, Larry S., ''Techniques & Applications of Path Integration'', Jonh Wiley & Sons (New York-1981) {{ISBN|0-471-76450-7}}

== 외부 링크 ==
* [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0205085 Three Methods for Computing the Feynman Propagator]

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:이론물리학]]
[[분류:수리물리학]]