전체모임 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''전체모임'''(全體-, {{llang|en|universal class}})은 고려하고자 하는 모든 대상을 포함하는 [[모임 (집합론)|모임]]이다. '''전체'''(全體), '''세계'''(世界, {{llang|en|universe}}) 등으로도 일컫는다.

전체모임은 집합일 수도, 아닐 수도 있으며, 집합인 경우에는 '''전체집합'''(全體集合)이라고 한다.

== 초등 집합론에서 ==
매우 직관적인 [[소박한 집합론]](naive set theory)에서는 임의의 집합을 전체집합으로 지정할 수 있다. 이때, 전체집합 U의 부분집합 A에 대해, A에 포함되지 않는 U의 원소들의 집합을 A의 [[여집합]]으로 정의할 수 있다. 예를 들어 [[자연수]] 집합을 전체집합으로 놓았을 때, 그 부분집합인 홀수의 집합의 여집합은 짝수의 집합이다.

== 초구조로서의 전체모임 ==
하나의 집합이 있을 때, 이를 이용해 다른 집합을 만들어내는 방법으로는 [[멱집합]] 연산과 [[데카르트 곱]]이 있다. 우리는 집합 X에 대해 그 멱집합 '''P'''X를 생각할 수 있고, X와 그 멱집합 '''P'''X의 데카르트 곱을 통해 X×'''P'''X를 얻을 수도 있다. 이와 같은 방법으로 X로부터 만들어질 수 있는 모든 집합들의 전체를 '''초구조'''(superstructure)라고 한다.

구체적으로, 집합 X 상의 초구조를 [[구조적 반복]]을 통해 다음과 같이 정의한다.
*'''S'''<sub>0</sub>X는 단순히 X로 놓는다.
*'''S'''<sub>1</sub>X는 X와 '''P'''X의 [[합집합]]이다.
*'''S'''<sub>2</sub>X는 '''S'''<sub>1</sub>X와 '''P'''('''S'''<sub>1</sub>X)의 합집합이다.
*일반적으로, '''S'''<sub>n+1</sub>X는 '''S'''<sub>n</sub>X와 '''P'''('''S'''<sub>n</sub>X)의 합집합이다.
이때 X의 초구조 '''S'''X는 위의 '''S'''<sub>i</sub>X들을 전부 합집합한 것이다:
: <math> \mathbf{S}X := \bigcup_{i=0}^{\infty} \mathbf{S}_{i}X \mbox{.} \! </math>

여기에서, 처음 시작한 집합 X가 무엇이든, [[공집합]] {}은 '''S'''<sub>1</sub>X에 포함될 것이다. 공집합은 [[순서수|폰 노이만 순서수]] [0]이며, 앞의 경우와 마찬가지로 순서수 [1] = {[0]}은 '''S'''<sub>2</sub>X에 포함된다. 이와 같은 방식으로, 초구조는 모든 [[자연수]](혹은 그에 대응되는 폰 노이만 순서수)를 포함하고 있음을 알 수 있다.

x와 y가 초구조에 포함된다면 [[순서쌍]] (x,y) = {{x},{x,y}}도 포함된다. 따라서 초구조는 [[곱집합]]을 포함하며, [[함수]]와 [[관계 (수학)|관계]]도 전부 포함하고 있다. (n짝은 [n]을 정의역으로 갖는 함수로 표시할 수 있다.)

따라서 처음에 X = {}으로 시작한다 해도 그 초구조는 수학을 전개하는 데 필요한 집합들을 상당히 많이 포함함을 알 수 있다. 그러나 '''S'''{}의 모든 원소는 [[유한 집합]]이며, 비록 모든 자연수가 '''S'''{}에 포함되지만 자연수 전부의 집합 '''N'''은 거기에 '원소로서' 포함되지 않음을 알 수 있다. (물론 '''N'''은 초구조에 '부분집합으로서' 포함된다.) 실제로 이 초구조 <math>V_\omega</math> ([[폰 노이만 전체]]의 <math>\omega</math>번째 부분 집합)는 [[계승적 유한 집합]]들로 이루어져 있으며, 이를 '[[유한주의 수학]]의 전체'라고 부를 수 있다. 시대적으로는 맞지 않지만, [[레오폴트 크로네커]](각 자연수의 존재를 믿은 반면 자연수 집합 '''N'''의 존재는 믿지 않은 [[19세기]]의 유한주의자)의 세계는 바로 이 전체였을 지도 모른다.
== 같이 보기 ==
* [[논의 영역]]
* [[그로텐디크 전체]]
* [[자유 대상]]
* [[공간#수학]]

{{전거 통제}}

[[분류:수리논리학]]
[[분류:집합족]]
[[분류:집합론]]
[[분류:초등 수학]]