전사 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Surjection.svg|섬네일|200px|전사 함수의 예]]
[[수학]]에서 '''전사 함수'''(全射函數, {{llang|en|surjection; surjective function}}) 또는 '''위로의 함수'''({{llang|en|onto}})는 [[공역]]과 [[치역]]이 같은 [[함수]]이다.

== 정의 ==
두 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전사 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 <math>x\in X</math>가 존재한다.
* [[공역]]과 [[치역]]이 같다. 즉, <math>Y=f(X)</math>이다.
* <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[전사 사상]]이다. 즉, 임의의 [[집합]] <math>Z</math> 및 [[함수]] <math>g_1,g_2\colon Y\to Z</math>에 대하여, 만약 <math>g_1\circ f=g_2\circ f</math>라면 <math>g_1=g_2</math>이다.
* <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[분할 전사 사상]]이다. 즉, <math>f\circ g</math>가 <math>Y</math> 위의 [[항등 함수]]를 이루는 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다. (이는 [[선택 공리]]를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)

== 성질 ==
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>가 주어졌다고 하자.
* 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 둘 다 전사 함수라면, <math>g\circ f</math> 역시 전사 함수이다.
* 만약 <math>g\circ f</math>가 전사 함수라면, <math>g</math> 역시 전사 함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사 함수일 필요는 없다.

두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 전사 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재하거나, 아니면 <math>Y=\varnothing</math>이다.
* <math>|X|\ge|Y|</math>이다. 여기서 <math>|\cdot|</math>는 [[집합의 크기]]이다.

[[공역]]의 [[집합의 크기|크기]]가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, [[정의역]] 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)

== 예 ==
정의역과 공역이 둘 다 [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>인 함수
:<math>\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>x\mapsto x^2</math>
는 전사 함수가 아닌데, <math>x^2=-1</math>인 실수 <math>x</math>가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이 <math>\mathbb R</math> 대신, 음이 아닌 실수의 집합 <math>[0,\infty)</math>이라면, 함수
:<math>\mathbb R\to[0,\infty)</math>
:<math>x\mapsto x^2</math>
는 전사 함수이다.

== 역사 ==
유럽 언어에서 쓰이는 용어 "서젝션"({{llang|en|surjection}}), "쉬르젝시옹"({{llang|fr|surjection}}) 등은 단사를 뜻하는 "인젝션"({{llang|en|injection}}), "앵젝시옹"({{llang|fr|injection|}})에서, [[접두사]] "인"({{llang|la|in}}, 안으로)을 "쉬르"({{llang|fr|sur|쉬르}}, 위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 [[니콜라 부르바키]]가 최초로 사용하였다.

== 같이 보기 ==
* [[단사 함수]]
* [[전단사 함수]]
* [[전사 사상]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 성=Halmos | 이름=Paul R. | 저자링크=헐모시 팔 | 제목=Naive set theory | url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r6r4 | isbn=978-0-387-90092-6| 날짜=1974 | publisher=Springer | doi=
    10.1007/978-1-4757-1645-0 | issn=0172-6056|총서=Undergraduate Texts in Mathematics|zbl=0287.04001|mr=0453532 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드|id=Surjection|title=Surjection}}
* {{eom|title=Surjection}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수의 종류]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]