전미분 문서 원본 보기

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[[벡터 미적분학]]에서 '''전미분'''({{llang|en|total derivative}})은 [[다변수 함수]]의 모든 변수의 변화에 따라 변화하는 행태를 근사하는 양이다. 즉, 전미분은 다변수 함수의 [[증분]]의 [[주요 선형 부분]]이다. 변수 하나의 변화만을 생각하는 [[편미분]]과 달리, 모든 변수의 변화를 더불어 생각한다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]에 정의된 실숫값 함수 <math>f\colon D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R</math>의 점 <math>\boldsymbol a\in D</math>에서의 '''전미분''' <math>\mathrm df</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\mathrm dx_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\mathrm dx_n</math>
여기서
* <math>\mathrm dx_i</math>는 변수 <math>x_i</math>의 증분이다.
* <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}</math>는 <math>f</math>의 <math>x_i</math>에 대한 편미분이다.
*
다만 이는 다음 조건을 만족해야 한다.
:<math>\lim_{\Delta\boldsymbol x\to0}\frac{\Delta f-\mathrm df}{\Delta\boldsymbol x}=0</math>

전미분 <math>\mathrm df</math>는 <math>\mathrm d\boldsymbol x</math>에 의존한다. 반면 <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}</math>는 <math>\mathrm d\boldsymbol x</math>에 의존하지 않는다.

만약 <math>D</math>의 어떤 점이나 모든 점에서 <math>f</math>의 전미분이 존재한다면, 그 어떤 점이나 <math>D</math>에서 <math>f</math>가 '''전미분 가능'''({{llang|en|totally differentiable}}) 또는 '''미분 가능'''하다고 한다.

== 성질 ==
전미분 가능 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.
* 전미분 가능 함수는 항상 [[연속 함수]]이다.
* 전미분 가능 함수는 항상 모든 변수에 대해 [[편미분]] 가능하다.
* 전미분 가능 함수는 항상 모든 방향에 대해 [[방향 미분]] 가능하다.

전미분 가능 함수는 다음과 같이 판정할 수 있다.
* 모든 변수에 대해 편미분 가능하고, 모든 편미분 연속 함수라면, 전미분 가능 함수이다. 이 경우 함수가 [[연속 미분 가능]]하다고 한다.

전미분 가능 함수의 성질과 판정은 어떤 점 위에서나 어떤 집합 위에서나 유효하다. 그러나, 이들의 역은 모두 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 모든 변수에 대해 편미분 가능한 함수가 전미분 가능할 필요는 없다.

== 예 ==
=== 전미분 가능  연속 미분 가능 ===
{{빈 문단}}

[[분류:라그랑주 역학]]
[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:미분 연산자]]
[[분류:미분학]]
[[분류:라그랑주 역학]]