전단사 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Bijection.svg|섬네일|전단사 함수의 예]]
[[수학]]에서 '''전단사 함수'''(全單射函數, {{llang|en|bijection}}, {{lang|en|bijective function}})는 두 [[집합]] 사이를 중복 없이 모두 일대일로 대응시키는 [[함수]]이다. '''일대일 대응'''(一對一對應, {{llang|en|one-to-one correspondence}})이라고도 한다.

== 정의 ==
두 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전단사 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 유일한 <math>x\in X</math>가 존재한다.
* [[전사 함수]]이며 [[단사 함수]]이다.
* 집합의 범주에서의 [[동형 사상]]이다. 즉, <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>, <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>인 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다. 이러한 <math>g</math>를 <math>f</math>의 '''[[역함수]]'''라고 한다.

== 성질 ==
두 집합 <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이에 전단사 함수가 존재한다면, <math>X</math>의 [[집합의 크기]]와 <math>Y</math>의 [[집합의 크기]]는 같다.

크기가 같은 두 [[유한 집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 단사 함수이거나 전사 함수라면, 항상 전단사 함수이다. 그러나 이는 [[무한 집합]]에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, <math>\mathbb N\to\mathbb N</math>, <math>n\mapsto n+1</math>은 단사 함수이지만 전사 함수가 아니다.)

집합 <math>X</math> 위의 전단사 함수 <math>X\to X</math>들의 집합은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(X)</math>라는 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이는 집합의 범주에서의 [[자기 동형군]]이다.

[[유한 집합]] <math>X</math> 위에서, 집합 <math>Y</math>로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.
:<math>\begin{cases}|X|!&|X|=|Y|\\0&|X|\ne|Y|\end{cases}</math>

== 같이 보기 ==
* [[칸토어-베른슈타인 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bijection}}
* {{매스월드|id=Bijection|title=Bijection}}

{{집합론}}

[[분류:함수의 종류]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]