전단변환행렬 문서 원본 보기

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[[파일:VerticalShear m=1.25.svg|섬네일|490px|right|alt=Mesh Shear 5/4|직사각형 그리드와 일부 영역 (파란색)의 전단효과 (녹색)에 의해 설명 된 계수 m = 1.25 인 평면의 수평 전단, 검은 색 점은 원점]]

좌표평면상에서 '''전단 매핑'''(shear mapping, 전단 맵)은 고정된 방향으로 각 포인트를 그 방향과 평행한 라인에서 부호가있는 거리에 비례하는 양만큼 이동시키는 선형 맵이다.<ref>Definition according to Weisstein, Eric W. Shear From MathWorld − A Wolfram Web Resource</ref> 이러한 [[유클리드 기하학]] 유형의 매핑은 전단 변환(transvection) 또는 간단히 전단이라고도한다.

예를 들어 좌표가있는 점을 사용하는 매핑이다. 좌표 <math>(x, y)</math>로부터 <math>(x + 2y, y) </math>까지에서 이 경우, 변위는 수평이고, 고정된 선의 방향은 <math>x</math>축, 그리고 이동한 거리는 <math> y</math>와 동등하고 기준선의 반대편에 있는 점들은 그 방향으로 변위된다.

전단 매핑은 [[회전행렬|회전]]과 혼동되어서는 안된다. 평면의 점 집합에 전단 맵을 적용하면 평면 사이의 모든 각도 (직선 각도 제외)와 변위 방향과 평행하지 않은 선분 의 길이가 변경된다. 따라서 일반적으로 정사각형을 비 정사각형 평행 사변형으로 , [[원]] 형태를 [[타원]] 형으로 바꾸는 등 기하학적인 도형의 모양을 왜곡할 수 있게된다. 그러나 전단은 기하학적인 영역과 동일 선상의 점의 상대적 거리를 보존한다.

또한 [[컴퓨터 그래픽]] 특히 [[타이포그래피]]에서 전단 매핑은 수직과 기울어 진(또는 기울임 꼴) 문자 스타일 간의 주요 차이점을 얻게 할 수 있다.

[[유체 역학]]에서 [[전단 (물리)|전단]] 매핑은 상대 운동에서 평면 판 위에서의 유체 흐름을 나타낸다.
거리가 고정 된 평면에서 측정된다는 점을 제외하고는 동일한 정의가 3 차원 형상에서 사용된다. 3 차원 시어링 변환([[전단 변환]],transvection)은 솔리드 형상의 볼륨을 유지하지만 평면의 영역으로 변경된다 (변위와 평행한 영역 제외). 이 변환은 플레이트(평면 판)상의 유체의 [[층류]] 흐름을 설명하는 데 사용된다. 유체는 평면 위로 이동하고 평면과 평행한다.

일반적으로 <math>n</math>차원 적 [[데카르트 좌표계|데카르트 공간]] <math> {R}^{n}</math> 거리는 변위 방향과 평행한 고정 [[초평면 (수학)|초평면]]으로부터 측정된다. 이 기하학적 변환은 <math>{R}^{n}</math>에서 <math> n</math> 차원의 [[측도]]를 제공한다.

==전단 행렬 표현==

:수평 전단
: <math>
 \begin{pmatrix}1 & m\\0 & 1\end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}=
 \begin{pmatrix}x + m y \\y \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}x^\prime \\y \end{pmatrix}


</math>
: 수직 전단
:<math>
  \begin{pmatrix}1 & 0\\m & 1\end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}=
   \begin{pmatrix}x \\ m x + y \end{pmatrix} = 
 \begin{pmatrix}x \\y^\prime \end{pmatrix}
</math>
:전단행렬 <math>
  \begin{pmatrix}1 & m\\0 & 1\end{pmatrix}
</math> 과 <math>
  \begin{pmatrix}1 & 0\\m & 1\end{pmatrix}
</math>에서 <math> m</math>은 전단 인자(shear factor)<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ShearFactor.html 매스월드]</ref>
:<math> x</math>축 과  <math> y</math>축에  각 각  수직, 수평으로 전단(기울어짐)하는 수직 전단과 수평 전단 행렬은 서로에 대해 [[전치행렬]]이다.
전단 정도의 각도는 전단 각으로 불린다.

==일반적인 전단 매핑==

[[벡터 공간]] V 와 [[부분 벡터 공간]] W에 대해 전단 고정 W는 모든 벡터를 W 와 평행하게 변환한다.

보다 정확하게는 V 가 W 와 W' 의 직접 합계이고 벡터를 다음과 같이 쓸 수 있다.

v = w + w'
이에 상응하여, 전형적인 전단 고정 W는 L 에 대해서

L ( v ) = ( w + Mw' ) + w'
여기서 M 은 W '에서 W 로의 선형 매핑이다. 따라서 [[블록 행렬]]에서 L 은 다음과 같이 나타낼 수있다.
:<math>\begin{pmatrix} I & M \\ 0 & I \end{pmatrix} </math>

== 같이 보기 ==
* [[변환행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [http://mathworld.wolfram.com/ShearMatrix.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/Shear.html 매스월드]

[[분류:행렬]]