전기 쌍극자 모멘트 문서 원본 보기

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'''전기 쌍극자 모멘트'''(電氣雙極子moment, {{lang|en|electric dipole moment}})는 [[물리학]]에서 [[전하]]로 이루어진 [[계 (물리학)|계]]의 [[극성]]을 재는 척도의 하나이다. 전기 쌍극자 모멘트를 가진 계를 '''전기 쌍극자'''(電氣雙極子, {{lang|en|electric dipole}})라고 부른다.

== 정의 ==
<math>+q</math>의 양전하와 <math>-q</math>의 음전하로 이루어진 계의 경우 '''전기 쌍극자 모멘트''' <math>p</math>는 다음과 같이 정의한다.
:<math>\mathbf{p} = q \, \mathbf{r}</math>
여기서 <math>r</math>은 음전하로부터 양전하를 가리키는 변위 벡터이다.

일반적으로, <math>N</math>개의 점전하 <math>q_i</math>로 이루어진 계의 경우 전기 쌍극자 모멘트 <math>p</math>는 다음과 같이 정의한다.
:<math>\mathbf{p} = \sum_{i=1}^N q_i \, \mathbf{r}_i</math>
여기서 '''r'''<sub>i</sub>는 어느 기준점으로부터 각 점전하를 가리키는 변위 벡터이다. 여기서 '''p'''의 값은 계가 전기적으로 중성일 때, 즉, 계의 전하량이 0일 때, 아무 기준점으로부터나 계산해도 값이 변하지 않는다. N = 2일 경우, 위의 경우와 같은 값을 얻는다.

연속적으로 전하가 분포할 때는 다음과 같이 전기 쌍극자 모멘트 '''p'''를 정의한다.
:<math>\mathbf{p} = \int_V \mathbf{r} \, dq = \int_V \rho(\mathbf{r}) \mathbf{r} d V </math>
여기서
* '''r'''<sub>i</sub> : 어느 기준점으로부터의 변위 벡터
* V : 전하가 분포하는 전체 공간
* ρ('''r''') : 전하의 분포를 나타내는 [[전하 밀도]] 함수
* dq : 전하 요소
* dV : 부피 요소
이다.

=== 전기 쌍극자 모멘트의 기준점 ===
알짜 전하가 0인 [[계 (물리학)|계]]의 경우 전기 쌍극자 모멘트는 기준점에 관계하지 않지만, 알짜 전하가 0이 아닌 경우에는 전기 쌍극자 모멘트는 기준점에 따라 달라진다. 이런 경우에는 통상적으로 [[질량 중심]]을 기준점으로 삼는다.

예를 들어, 한 쌍의 [[전하량]]이 서로 반대인 두개의 [[전하]] 또는 전기적으로 중성인 [[도체]]가 균일한 [[전기장]]속에 있다 하자. 이런 [[계 (물리학)|계]]의 경우 알짜 전하가 0이므로 쉽게 쌍극자 모멘트를 구해 전기장을 구하거나, [[라플라스 방정식]]을 풀어 쉽게 계를 이해할 수 있다. 하지만 [[양성자]]나 [[전자]] 따위의 [[전기 쌍극자 모멘트]]를 계산할 경우에는 [[질량 중심]]을 기준으로 잡아야 한다.

== 전기 쌍극자의 운동 ==
주어진 기준점에 대하여 전기 쌍극자 모멘트 <math>\mathbf p</math>를 가진 쌍극자는 균일한 전기장 <math>\mathbf E</math> 안에서 전기장에 의하여 돌림힘을 받는다. 전기 쌍극자 모멘트와 같은 기준점에서의 [[돌림힘]] <math>\boldsymbol{\tau}</math>는 다음과 같다.
:<math>\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E</math>.
{{테두리|'''유도'''<br />양전하 <math>q</math>와 음전하 <math>-q</math>로 이루어진 길이 <math>d</math>의 쌍극자가 균일한 [[전기장]] <math>\mathbf E</math>에 놓여 있다고 하자. 쌍극자 모멘트와 전기장 사이의 [[각도]]를 <math>\theta </math>라고 하면, 쌍극자의 각 전하가 받는 힘
:<math>\mathbf F=q\mathbf E</math>
에 의해 쌍극자는 [[돌림힘]]
:<math>\boldsymbol{\tau} = 2\cdot(\mathbf{r} \times \mathbf{F}) = dF \sin \theta\hat{\boldsymbol{\tau}} = dqE \sin \theta  \hat{\boldsymbol{\tau}}</math>
를 받아 회전한다. 그런데 전기 쌍극자 모멘트는 <math>\mathbf p=q\mathbf d</math>로 정의하므로
:<math>\boldsymbol{\tau}= pE\sin\theta\hat{\boldsymbol{\tau}}=\mathbf p\times\mathbf E</math>
가 된다.}}

이 돌림힘은 다음과 같은 [[위치 에너지]]로 나타낼 수 있다.
:<math>U=-\mathbf p\cdot\mathbf E</math>.
즉 쌍극자가 전기장과 같은 방항을 가리키는 경우 [[전기적 위치 에너지]]가 최소이고, 반면 쌍극자가 전기장의 반대 방향을 가리키면 전기적 위치 에너지가 최대다. 이에 따라, 다른 외부 힘이 없다면 쌍극자는 전기장의 같은 방향으로 정렬한다.

전기 쌍극자 모멘트 <math>\mathbf p</math>를 가진 쌍극자가 전기장 <math>\mathbf E</math>안에서 받는 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\mathbf F=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E</math>.
{{테두리|'''유도'''<br />양전하 <math>q</math>와 음전하 <math>-q</math>로 이루어진 길이 <math>d</math>의 쌍극자가 [[전기장]] <math>\mathbf E( \mathbf x )</math>에 놓여 있다고 하자. <math>+q</math>의 전하가 <math>\mathbf x + \mathbf r</math>에 놓여있고, <math>-q</math>의 전하가 <math>+x</math>에 놓여있을 때 전체 계가 받는 힘은 다음과 같다.
:<math>\mathbf F = q \mathbf E (\mathbf x + \mathbf r ) - q \mathbf E ( \mathbf x )</math>
이를 정리하고, <math>\mathbf r \to 0 </math>이라고 하면
:<math>\mathbf F = q \left( \mathbf E (\mathbf x + \mathbf r) - \mathbf E (\mathbf x) \right)  = q(\mathbf E' (\mathbf x) \cdot \mathbf r )  </math>
가 된다. 그런데 다변수 함수 <math>\mathbf E</math>에 대한 미분이 
:<math>\mathbf E = \frac{\partial \mathbf E(x,y,z)}{\partial (x,y,z)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \mathbf E_x}{\partial x}  & \frac{\partial \mathbf E_x}{\partial y} & \frac{\partial \mathbf E_x}{\partial z} \\ \frac{\partial \mathbf E_y}{\partial x} &  \frac{\partial \mathbf E_y}{\partial y} &  \frac{\partial \mathbf E_y}{\partial z}  \\  \frac{\partial \mathbf E_z}{\partial x}  & \frac{\partial \mathbf E_z}{\partial y} & \frac{\partial \mathbf E_z}{\partial z} \end{pmatrix} </math>
임을 이용하여 정리하면 다음과 같은 꼴이 나옴을 알 수 있다.
:<math>\mathbf F = (\mathbf p \cdot \nabla )\mathbf E</math>}}

또한 임의의 지점에 대한 돌림힘은 다음과 같이 나타내어진다.
:<math>\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E + \mathbf r \times \mathbf F</math> .
== 전기 쌍극자의 전기장과 자기장 ==
시간에 따라 일정한 전기 쌍극자 모멘트 <math>\mathbf p</math>를 가진 쌍극자의 [[전위]] <math>\phi(\mathbf r)</math>는 다음과 같다.
:<math>\phi(\mathbf r)=\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\epsilon_0r^2}</math>.
여기서 <math>\mathbf r</math>은 쌍극자의 위치에서 전위를 측정하려는 위치를 가리키는 변위 벡터이고, <math>\hat{\mathbf r}</math>는 <math>\mathbf r</math> 방향의 [[단위 벡터]]이다. <math>\epsilon_0</math>는 진공의 [[유전율]]이다.
따라서 전기 쌍극자의 [[전기장]] <math>\mathbf E(\mathbf r)</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla\phi=\frac{3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p}{4\pi\epsilon_0r^3}</math>.

시간에 따라 그 모멘트가 바뀌는 전기 쌍극자 <math>\mathbf p(t)</math>의 경우는 [[뒤처진 퍼텐셜]]을 고려하여야 하므로 더 복잡하다. [[전위]]는 다음과 같다.
:<math>\phi(\mathbf r,t)=\frac{(\mathbf p(t_\text{ret})+\dot{\mathbf p}(t_\text{ret})r/c)\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\epsilon_0r^2}</math>.
여기서 <math>t_\text{ret}=t-r/c</math>는 뒤처진 시간이다. 만약 <math>\mathbf p=\mathbf p_0\cos(\omega t)</math>이고, <math>r\gg c/\omega</math>인 경우(원거리장)는 다음과 같다.
:<math>\phi(\mathbf r,t)=-\frac{\mathbf p_0\sin(\omega t_\text{ret})\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\epsilon_0cr}</math>.

시간에 따라 그 모멘트가 바뀌는 전기 쌍극자 <math>\mathbf p(t)</math>는 [[자기장]]을 발생시킨다. 이는 쌍극자를 한 쌍의 점전하로 간주하여 한 점전하에서 다른 점전하로 [[전류]]가 흐르는 것으로 해석할 수 있다. 즉, 쌍극자의 크기가 <math>d</math>이고 쌍극자 모멘트가 <math>\mathbf p(t)=q(t)d</math>이라면 그 전류는 다음과 같다.
:<math>I=\dot q=p/d</math>.
따라서 시간에 따라 바뀌는 전기 쌍극자의 [[벡터 퍼텐셜]]은 다음과 같다.
:<math>\mathbf A(\mathbf r,t)=\frac{\mu_0\dot{\mathbf p}(t_\text{ret})}{4\pi r}</math>.

=== 전기 쌍극자 복사 ===
'''전기 쌍극자 복사'''(電氣雙極子輻射, {{lang|en|electric dipole radiation}})란 시간에 따라 크기가 바뀌는 전기 쌍극자가 방출하는 복사 [[전자기파]]다.

쌍극자 <math>\mathbf p=\mathbf p_0\cos(\omega t)</math>를 생각해 보자. 그 [[뒤처진 퍼텐셜]]은 다음과 같다.
:<math>\phi(\mathbf r,t)=-\frac{\mathbf p_0\cdot\hat{\mathbf r}\sin(\omega(t-r/c))}{4\pi\epsilon_0cr}</math>
:<math>\mathbf A(\mathbf r,t)=\frac{\mathbf p_0\omega}{4\pi\epsilon_0r}\sin(\omega(t-r/c))</math>.
따라서 그 원거리 (<math>O(1/r)</math>) [[전자기장]]은 다음과 같다.
:<math>\mathbf{B} = \frac{\omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3r} (\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf p)\cos(\omega(t- r/c))/r</math>
:<math>\mathbf{E} = c \mathbf B \times \hat{\mathbf r}</math>.
그 [[포인팅 벡터]]는 다음과 같다.
:<math>\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B=\frac{\mu_0\omega^4}{32\pi^2cr^2} \hat{\mathbf r}</math>.
이를 모든 [[입체각]]에 대하여 적분하면 전기 쌍극자 방사의 [[일률]] <math>P</math>를 얻는다.
:<math>P =\oint_{4\pi}S\,d\Omega=\frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c}</math>.
이는 쌍극자에 대한 [[라모 공식]]과 같다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
  | 성=Griffiths
  | 이름=David J.
  | 제목=Introduction to Electrodynamics
  | 출판사=Addison-Wesley
  | 연도=1999
  | 언어=영어
  | isbn = 978-0138053260
}}
* {{서적 인용
 |성=Jackson
 |이름=J. D.
 |연도=1962, 1975, 1998
 |제목=Classical Electrodynamics
 |위치=New York
 |출판사=John Wiley & Sons
 |oclc=535998
 |isbn=978-0-471-30932-1
 |언어=영어
 |url=http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047130932X.html
 |access-date=2012-10-11
 |archive-date=2013-08-21
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130821131938/http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047130932X.html
 |url-status=dead
 }}

== 같이 보기 ==
* [[결합 쌍극자 모멘트]]
* [[자기 모멘트]]
* [[다중극 전개]]

{{전거 통제}}

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:전자기학]]