전기적 위치 에너지 문서 원본 보기

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'''전기적 위치 에너지'''(電氣的位置energy, {{lang|en|electric potential energy}})는 정의된 [[물리계]] 안에 놓인 [[전하]] 사이에서 발생하는 [[쿨롱 법칙|정전기력]]이 변화된 [[위치 에너지]]이다. [[국제단위계|국제 단위]]는 다른 에너지의 종류와 마찬가지로 [[줄 (단위)|줄]]이다. 전기적 위치 에너지는 [[볼트 (단위)|볼트]]를 단위로 하는 [[전위]]와 같은 개념이다.

== 정의 ==
[[점전하]] ''Q'' 가 만들어 내는 전기장 ''E''에 또 다른 점전하 ''q''가 놓여 있을 경우, 두 점전하는 [[쿨롱 법칙|정전기력]]에 의해 위치가 변화하게 된다. ''Q'' 의 상대적 위치를 원점으로 하여 ''q'' 의 위치 변화만을 계산할 때, 최초 위치를 '''r'''<sub>ref</sub>, 변화된 위치를 '''r'''이라 하면 ''q'' 의 전위 에너지 변화는 다음의 [[선적분]]에 의해 계산할 수 있다.<ref>Electromagnetism (2nd edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008. {{ISBN|0-471-92712-0}}</ref>. 이 때, 전기장은 점전하에서 모든 방향으로 균등하게 방사되며 변화가 없다고 가정한다.

:<math> U_E(r) - U_E(r_{\rm ref})  = -W_{r_{\rm ref} \rightarrow r } = -\int_{{r}_{\rm ref}}^r \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = -q \int_{{r}_{\rm ref}}^r \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}</math>

<small>
* '''r''' = 3차원 공간에서 ''' r'''은 '''r''' = (''x'', ''y'', ''z'')의 위치에서 ''r'' = |'''r'''| 의 크기를 같는 위치 [[벡터]]이다.
* <math> \scriptstyle W_{r_{\rm ref} \rightarrow r } </math> 점전하 ''q'' 가 '''r'''<sub>ref</sub>에서 '''r'''로 이동하였음을 의미한다.
* '''F'''는 ''Q''에 의해 ''q''에 가해진 힘이다.
* '''E'''는 ''Q''에 의한 [[전기장]]이다.
</small>

일반적으로 ''U<sub>E</sub>''를 0 으로, '''r'''<sub>ref</sub>을 무한대로 놓아 다음과 같이 표기한다.
:<math> U_E (r_{\rm ref}=\infty) = 0</math>

따라서,
:<math> U_E(r) = -\int_\infty^r \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = -q \int_\infty^r \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}</math>
가 되고, 이 때 '''E''', '''F''', '''r'''은 모두 ''Q''에 의해 방사상으로 이끌리고, '''F'''와 d'''r'''은 역평행이어야 하므로,
:<math> \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = |\mathbf{F}| \cdot |\mathrm{d}\mathbf{r}|\cos(\pi) = - F \mathrm{d}r</math>
이다.

[[쿨롱의 법칙]]에 따라
:<math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2}</math>
이므로, 적분을 간단히 하면:
:<math> U_E(r) = -\int_\infty^r \mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r} = -\int_\infty^r \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2}{\rm d}r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r}</math>
이 된다.

[[국제단위계]]에서 쿨롱 상수는
:<math> k_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} </math> <small> (이때, <math>\varepsilon_0</math>는 [[진공]]의 [[유전율]])</small>
이므로 다음과 같이 표시하기도 한다.
:<math> U_E(r) = k_e \frac{qQ}{r}</math>

즉, 점전하 ''Q''가 만들어 내는 전기장 ''E''에 놓인 점전하 ''q''가 '''r''' 만큼 위치가 변화하였을 때의 에너지는 두 점전하 사이의 거리에 반비례하고 전하량의 곱에 비례한다.

== 전기 에너지 밀도 ==
어떤 계가 가지고 있는 전기 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math> U = \sum_{i>j} \frac{kq_iq_j}{r_{ij}} = \frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{kq_iq_j}{r_{ij}} = \frac{1}{2} \sum q_i V_i </math>
연속적인 전하분포 <math> \rho( \mathbf r ) </math>에 의한 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math> U = \frac{1}{2} \int \rho V d\tau = \frac{1}{2} \int (\epsilon_0 \nabla \cdot \mathbf E )V d\tau  = \frac{\epsilon_0}{2} \left[ -\int \mathbf E \cdot ( \nabla V ) d\tau + \oint V \mathbf E \cdot d\mathbf a \right] = \frac{\epsilon_0 }{2} \left[\int_{\mathcal V} E^2 d\tau +  \oint_{\mathcal S} V \mathbf E \cdot d\mathbf a \right]  </math>
여기서 <math> \mathcal S </math>는 <math> \mathcal V </math>의 경계면이다. 그런데 <math> \mathcal V </math>를 무한대로 보내면 <math> \mathcal S </math>에서 <math> \mathbf E </math>와 <math>  V </math>모두 <math> 0 </math>에 수렴하므로 위 적분은 다음과 같이 나타내어진다.
:<math> U = \frac{\epsilon_0 }{2} \int_{\mathcal V} E^2 d\tau  </math>
따라서 전기 에너지 밀도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math> u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 </math>

== 같이 보기 ==
* [[전위]]
* [[전압]]
* [[전류]]
* [[축전기]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}
{{토막글|과학}}

[[분류:전자기학]]
[[분류:전압]]