적분 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''적분 변환'''(積分變換, {{llang|en|integral transform}})은 어떤 '''핵'''({{llang|en|kernel}})과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 [[단면 (올다발)|단면]] 공간 위의 [[선형 변환]]이다. 원래 함수의 특성을 좀 더 쉽게 포착하고 응용하기 위해 사용한다. 보통은 변환된 함수를 역변환을 통해 원래 함수 공간으로 매핑할 수 있다.

== 간단한 형태 ==
적분 변환은 어떤 변환 <math>T</math>에 대해 다음과 같이 나타난다.

:<math>(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t) K (t,u) dt </math>

<math>f</math>는 [[변환|선형 변환]]에 사용한 [[함수]]를, <math>Tf</math>는 변환된 함수를 나타낸다. 적분 변환은 일종의 수학적 [[연산자]]이다.

<math>K</math>는 원래의 함수와 변환된 함수의 [[변수]]를 모두 가지고 있는 함수로, 적분변환은 이 함수를 잘 선택하여 얻는다. 위 식에서 <math>K</math>를 변환의 '''커널'''(kernel) 혹은 '''핵'''이라고 부른다.

어떤 커널들은 자신과 연관된 (간단하게 말해서)역커널 <math>K^{-1} (u,t)</math>이 존재하고, 그것에 대해 역변환을 생각할 수 있다.

<math>f(t) = \int_{u_1}^{u2} (Tf)(u) K^{-1} (u,t) du</math>

한편, 커널의 변수의 위치를 바꿔도 커널이 바뀌지 않는 커널을 대칭커널이라고 한다.. 다시 말해서 <math>K(t,u)=K(u,t)</math>인 커널 <math>K</math>은 대칭커널이다. 적분 방정식에서 대칭 커널은 [[자기 수반 연산자]]이다.<ref>{{서적 인용|저자1= Philip M. Morse |저자2=Herman Feshbach |출판사=McGRAW-HILL Book company |연도=1953 |제목=Methods of Theoretical Physics |총서= International Series in Pure and Applied Physics|권=1 |장=8 |쪽=908}}</ref>

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.<ref>{{서적 인용|이름=N.|성=Berline|이름2=E.|성2=Getzler|이름3= M.|성3=Vergne|제목=Heat kernels and Dirac operators|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권= 298|출판사=Springer-Verlag|날짜=1992|언어=en}}</ref>
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 두 (유한 차원) [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 및 <math>F\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, [[곱공간]] <math>M\times M</math>의 [[사영 함수]]
:<math>\operatorname{proj}_1,\operatorname{proj}_2\twoheadrightarrow M</math>
를 통해, <math>M\times M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]
:<math>E\boxtimes F^*=\operatorname{proj}_1^*E\otimes\operatorname{proj}_2^*F^*</math>
를 정의할 수 있다.

<math>(E,F)</math>-'''핵'''(核函數, {{llang|en|kernel}})은 다음과 같은 꼴의 [[매끄러운 단면]]이다.
:<math>K\in\Gamma^\infty\left(\left(E\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\boxtimes\left(F^*\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\right)</math>
(여기서 <math>\Gamma^\infty</math>는 [[매끄러운 단면]]의 공간을 뜻하며, <math>\sqrt{|\Lambda(M)|}</math>는 무게 <math>(\dim M)/2</math>의 [[텐서 밀도]]의 실수 [[선다발]]을 뜻한다.)

=== 일반화 단면 ===
<math>E</math>에 추가로 매끄러운 [[노름]]이 주어졌다고 하자.

이제, 다음과 같은 [[실수 벡터 공간]]을 생각하자.
:<math>\Gamma_\text{comp}^\infty(\mathcal E^*\otimes|\Lambda(M)|)</math>
여기서
* <math>\Gamma_\text{comp}^\infty(-)</math>는 [[콤팩트 지지]] [[매끄러운 단면]]들의 공간이다.
* <math>|\Lambda(M)|</math>은 <math>M</math> 위의, 무게 <math>\dim M</math>의 [[텐서 밀도]]의 실수 [[선다발]]이다.
이 위에는 [[균등 노름]]을 부여하여 [[노름 공간]]으로 만들 수 있다.

<math>E</math>의 '''일반화 단면'''(一般化斷面, {{llang|en|generalized section}})의 [[위상 벡터 공간]]은 위 [[노름 공간]]의 [[연속 쌍대 공간]]이다. 이를
:<math>\Gamma^{-\infty}(E)</math>
로 표기하자.

=== 적분 변환 ===
<math>(E,F)</math>-핵 <math>K</math>에 대응되는 '''적분 변환'''은 다음과 같은 꼴의 [[실수 선형 변환]]이다.
:<math>\Gamma^{-\infty}(E)\to\Gamma^\infty(F)</math>
:<math>s\mapsto\int_MK(x,y)s(x)\,\mathrm dx</math>

== 성질 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 두 (유한 차원) [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 및 <math>F\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>와 <math>F</math> 위의 (매끄러운) [[노름]]
'''슈와르츠 핵 정리'''(Schwartz核定理, {{llang|en|Schwartz kernel theorem}})에 따르면, 콤팩트 공간 <math>M</math> 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 [[전단사 함수|전단사]] [[실수 선형 변환]]이 존재한다.
:<math>\Gamma^\infty\left(\left(E\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\boxtimes\left(F^*\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\right)\to\operatorname B\left(\Gamma^{-\infty}(E\otimes\sqrt{|\Lambda M|}),\Gamma(F\otimes\sqrt{|\Lambda M|})\right)</math>
:<math>K\mapsto \left(s\mapsto \left(y\mapsto \int_Ms(x)K(x,y)\,\mathrm dx\right)\right)\qquad\left(
K\in\Gamma^\infty\left(\left(E\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\boxtimes\left(F^*\otimes\sqrt{|\Lambda(M)|}\right)\right),\;
s\in\Gamma^{-\infty}(E\otimes\sqrt{|\Lambda M|}),\;
y\in M
\right)
</math>
여기서 <math>\operatorname B(-,-)</math>는 [[유계 작용소]]들의 [[노름 공간]]을 뜻한다.

== 예 ==
[[유클리드 공간]] 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다.

{| class="wikitable"
|+ 적분 변환 목록
|-
! scope="col" | 변환
! scope="col" | 기호
! scope="col" | <math>K</math>
! scope="col" | t<sub>1</sub>
! scope="col" | t<sub>2</sub>
! scope="col" | <math>K^{-1}</math>
! scope="col" | u<sub>1</sub>
! scope="col" | u<sub>2</sub>
|-
| [[푸리에 변환]]
| <math>\mathcal{F}</math>
| <math>\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[하틀리 변환]]
| <math>\mathcal{H}</math>
| <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[멜린 변환]]
| <math>\mathcal{M}</math>
| <math>t^{u-1}\,</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| [[양측 라플라스 변환]]
| <math>\mathcal{B}</math>
| <math>e^{-ut}\,</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| [[라플라스 변환]]
| <math>\mathcal{L}</math>
| <math>e^{-ut}\,</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+ut}}{2\pi i}</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| [[바이어슈트라스 변환]]
| <math>\mathcal{W}</math>
| <math>\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}}</math>
| <math>c\!-\!i\infty</math>
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
| [[항켈 변환]]
| 
| <math>t\,J_\nu(ut)</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>u\,J_\nu(ut)</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[아벨 변환]]
| 
| <math>\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}</math>
| <math>u\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}</math>
| <math>t\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[힐베르트 변환]]
| <math>\mathcal{H}il</math>
| <math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
| <math>\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}</math>
| <math>-\infty\,</math>
| <math>\infty\,</math>
|-
| [[푸아송 핵]]
|
| <math>\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}</math>
| <math>0\,</math>
| <math>2\pi\,</math>
| 
| 
| 
|-
| [[디랙 델타 함수|동일 변환]]
| 
| <math>\delta (u-t)\,</math>
| <math>t_1<u\,</math>
| <math>t_2>u\,</math>
| <math>\delta (t-u)\,</math>
| <math>u_1\!<\!t</math>
| <math>u_2\!>\!t</math>
|}

== 역사 ==
슈와르츠 핵 정리는 [[로랑 슈와르츠]]가 1952년에 [[유클리드 공간]]에 대하여 발표하였다.<ref>L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[미분방정식]]
* [[합성곱]]

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Integral transform}}
* {{eom|title=Kernel of an integral operator}}
* {{eom|title=Integral operator}}
* {{eom|title=Nuclear bilinear form}}
* {{eom|title=Fredholm kernel}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/120421/schwartz-kernel-theorem-for-topological-spaces|제목=Schwartz kernel theorem for topological spaces|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:적분 변환| ]]
[[분류:해석학 (수학)]]