적분가능계 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]과 [[물리학]]에서 '''적분가능계'''(積分可能系, {{llang|en|integrable system}}) 또는 '''가적계'''(可積系) 또는 '''가적분계'''(可積分系)는 대략 무한한 수의 [[운동 상수]]들이 존재하여, 완전히 풀 수 있는 [[계 (물리학)|계]]를 뜻한다.<ref>{{서적 인용|이름=Olivier|성=Babelon|공저자=Denis Bernard, Michel Talon|제목=Introduction to Classical Integrable Systems|출판사=[[케임브리지 대학교|Cambridge University]] Press|doi=10.1017/CBO9780511535024|isbn=978-0521822671|날짜=2007-02|기타=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=V.I.|성=Arnold|저자링크=블라디미르 아르놀트| title=Mathematical Methods of Classical Mechanics|판=2판| publisher=Springer | year = 1997|isbn=978-0-387-96890-2 |언어=en}}</ref> 여러 가지 정의가 있으나, 고전역학적 계의 경우 보통 '''리우빌 적분가능성'''({{llang|en|Liouville integrability}})을 의미한다.

== 리우빌 적분가능성 ==
리우빌 적분가능성은 [[해밀턴 역학|해밀턴 계]]가 가질 수 있는 한 성질이다. <math>(M,\omega,H)</math>가 해밀턴 계라고 하고, <math>M</math>이 유한 차원이라고 하자. 만약 이 계가 (<math>H</math> 자체를 포함한) <math>(\dim M)/2</math>개의 선형독립 [[운동 상수]](또는 '''운동 적분'''({{llang|en|integrals of motion}})) <math>F_i</math>를 가진다면, 이 계를 '''리우빌 적분가능'''(Liouville積分可能, {{llang|en|Liouville integrable}})이라고 한다. 만약 이 계가 <math>(\dim M)/2</math>개를 초과하는 선형독립 [[운동 상수]]들을 가진다면, 이 계를 '''초적분가능'''(超積分可能, {{llang|en|superintegrable}})이라고 한다.

만약 이 계가 <math>(\dim M)-1</math>개의 선형독립 [[운동 상수]]들을 가진다면, 이 계를 '''최대 초적분가능'''(最大超積分可能, {{llang|en|maximally superintegrable}})이라고 한다. 정적이지 않은 계는 <math>\dim M</math>개 이상의 선형독립 운동 상수들을 가질 수 없는데, 이는 초기 조건이 <math>\dim M</math>개 있고, 초기 시간은 운동 상수에 의하여 결정되지 않기 때문이다.

=== 작용각 좌표 ===
(리우빌) 적분가능계의 경우, '''작용각 좌표'''(作用角座標, {{llang|en|action–angle coordinates}})라는 좌표들이 존재한다. 적분가능계 <math>(M,\omega)</math> (<math>\dim M=2m</math>)가 <math>m</math>개의 [[운동 상수]]들을 가진다고 하자. 운동 상수들은 함수 <math>I\colon M\to B</math>로 나타낼 수 있다. 여기서 <math>B</math>는 <math>m</math>차원 미분다양체다. 즉, <math>M</math>은 <math>B</math> 위의 [[올다발]]을 이룬다. <math>b\in B</math>에 대하여, 올 <math>I^{-1}(b)=M_b\subset M</math>은 <math>M</math>의 [[라그랑주 부분 다양체]]를 이룬다. 즉, <math>\omega^{-1}</math>의 <math>B</math>로의 [[밂 (미분기하학)|밂]]({{llang|en|pushforward}})은 0이다.
:<math>0=I_*(\omega^{-1})</math> 만약 <math>T_b</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간]]이라면, <math>T_b</math>는 <math>m</math>차원 [[원환면]]과 [[미분동형]]이며, 이를 '''리우빌 원환면'''({{llang|en|Liouville torus}})이라고 한다.

<math>M</math>은 <math>B</math>의 국소좌표 <math>J^i</math>와, 이에 대한 정준 켤레 좌표인 <math>M_b</math>의 국소좌표 <math>w_i</math>로 좌표를 잡을 수 있다. 이를 '''작용각 좌표'''라고 한다. 여기서 <math>J^i</math>는 '''작용 좌표'''({{llang|en|action coordinate}}), <math>w_i</math>를 '''각 좌표'''({{llang|en|angle coordinate}})다.

== 적분가능계의 예 ==
=== 고전역학에서의 적분가능계 ===
[[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]이 유한 차원인 적분가능 고전역학계들은 다음과 같은 예들이 있다. 위상 공간이 2차원인 경우에는 ([[해밀토니언]]이 [[운동 상수]]이므로) 자동적으로 적분가능하다. 위상 공간이 4차원 이상인 경우에는 적분불가능한 계들이 존재한다.

==== 조화 진동자 ====
<math>n</math>차원 [[조화 진동자]]. 3차원 조화 진동자는 사실 최대 초적분가능계인데, 이는 [[에너지]]와 [[각운동량]] 이외에도 '''프래드킨 텐서'''({{llang|en|Fradkin tensor}})<ref>{{저널 인용|doi=10.1119/1.1971373|저널=American Journal of Physics|날짜=1965-03|권=33|호=3|쪽=207–211|제목=Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU<sub>3</sub>|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-physics_1965-03_33_3/page/n58|이름=D. M.|성=Fradkin|issn=0002-9505|bibcode=1965AmJPh..33..207F|언어=en}}</ref>라는 [[운동 상수]]가 존재하기 때문이다.

==== 다체 문제 ====
케플러 문제({{llang|en|Kepler problem}}, 역제곱힘 [[이체 문제]]). 이는 사실 최대 초적분가능계이다. 이는 (이체 문제를 일체 문제로 변형시키면) 6차원 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]에 정의돼 있지만, 그 [[운동 상수]]는 총 5개이기 때문이다. (이들은 [[에너지]] <math>E</math>, [[각운동량]] <math>\mathbf L</math>, [[라플라스-룽게-렌츠 벡터]] <math>\mathbf A</math>이며, 이들 사이에는 <math>\mathbf A\cdot\mathbf L=0</math>, <math>A^2=m^2k^2+2mEL</math> 두 개의 관계가 존재한다.)

역제곱힘 <math>V(r)\propto1/r</math>은 3체 이상의 경우 적분가능하지 않지만, 역세제곱힘 <math>V(r)\propto1/r^2</math>는 임의의 수의 입자에 대하여 적분가능하다. 이는 '''칼로제로-모저'''(Calogero–Moser) 모형<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0606233|제목=Lectures on Calogero–Moser systems|성=Etingof|이름=Pavel}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Calogero–Moser system|저널=Scholarpedia|권=3|호=8|쪽=7216|날짜=2008|이름=Francesco|성=Calogero|doi=10.4249/scholarpedia.7216}}</ref>의 특수한 경우다. 이 밖에도, 이를 변형한 칼로제로-서덜런드(Calogero–Sutherland) 모형<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9405104|제목=A lecture on the Calogero–Sutherland models}}</ref> 등이 있다.

==== 강체 ====
[[강체]]의 경우에는 라그랑주 팽이, 오일러 팽이, 코발렙스카야 팽이(Kovalevskaya Top)<ref>{{저널 인용|arxiv=math-ph/0111025|제목=
Kovalevskaya top — an elementary approach|doi=10.1023/A:1015416529917|issn=0040-5779}}</ref> 세 개의 적분가능모형이 존재한다. 다른 강체들은 일반적으로 적분가능하지 않다.

=== 적분가능 2·3차원 장론 ===
수면파를 나타내는 장론들은 적분가능계인 경우가 많다. 이들은 [[솔리톤]](안정된 수면파)을 포함한다.
* [[코르테버흐-더프리스 방정식]]
* 부시네스크 방정식({{llang|en|Boussinesq equation}}, 긴 파장의 비선형 수면파를 나타내는 방정식)
* KP(Kadomtsev–Petviashvili) 방정식 (2+1차원 수면파)
페르미온을 포함한 적분가능계와, 이들을 [[보손화]]하여 얻어지는 적분가능계들은 다음과 같다.
* [[사인-고든 방정식]](sine-Gordon equation)<ref>{{저널 인용|doi=10.1007/BF02820622|제목=Theory and applications of the sine-Gordon equation}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=양자 사인-고든 모형|저자=안창림|출판사=이화여자대학교출판부|isbn=9788973006687|날짜=2006|위치=서울|언어=ko}}</ref>과 [[티링 모형]]은 [[보손화]]로 서로 동형인 적분가능계이다.
* [[도다 장론]](Toda field theory)<ref>{{저널 인용|제목=
Recent developments in affine Toda field theory|arxiv=hep-th/9412213|bibcode=1994hep.th...12213C}}</ref>
* 비선형 [[슈뢰딩거 방정식]](nonlinear Schrödinger equation)
* 무질량 2차원 [[양자 전기역학]] (=[[슈윙거 모형]])
* 2차원 [[양자 색역학]]

또한, 모든 2차원 [[등각 장론]]들은 무한한 등각 대칭으로 인해 적분가능계이다. 대표적으로 다음이 있다.
* [[베스-추미노-위튼 모형]]
* [[리우빌 장론]]
* (초)등각 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]

=== 격자 모형 ===
[[강자성]]을 나타내는 모형인 '''스핀 사슬'''({{llang|en|spin chain}})들은 다음이 있다. 이들은 상전이 근처에서 [[등각 장론]](보통 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]])을 이룬다.
* XXX 모형 ([[하이젠베르크 모형]])<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9810032|제목=A spin chain primer|bibcode=1999IJMPB..13.2973N|doi=10.1142/S0217979299002800|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Heisenberg spin chains: from quantum groups to neutron scattering experiments|이름=Jean-Michel|성=Maillet|doi=10.1007/978-3-7643-8522-4_4|isbn=978-3-7643-8521-7|제목=Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007|출판사=Birkhäuser|위치=[[바젤|Basel]]|언어=en|장url=http://www.bourbaphy.fr/maillet.pdf|날짜=2007|쪽=161–201|기타=Progress in Mathematical Physics 53}}</ref>
* XXZ 모형 (하이젠베르크-이징 모형)
* XYZ 모형
* 임계 [[이징 모형]]
* 3개 상태 [[포츠 모형]](Potts model)
이 밖에도, [[도다 격자]]는 연속적인 변수를 가지므로 스핀 사슬이 아니지만, 1차원 결정 격자의 진동을 나타내는 적분가능계이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Maciej|성=Dunajski| title=Solitons, Instantons and Twistors| publisher=[[옥스퍼드 대학교|Oxford University]] Press| year = 2009-12-10|isbn=978-0-19-857062-2  |언어=en|기타=Oxford Graduate Texts in Mathematics 19|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198570622.do}}
* {{서적 인용|이름=Ludvig D.|성=Faddeev|공저자=L. A. Takhtajan | title =Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons |url=https://archive.org/details/hamiltonianmetho0000fadd| publisher= Addison-Wesley | year=1987 |isbn=978-0-387-15579-1 |언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Anatoly T.|성= Fomenko|공저자=A. V. Bolsinov|제목=Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification|출판사=Taylor and Francis|날짜=2003|isbn=978-0-415-29805-6|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Giuseppe|성=Mussardo|제목=Statistical Field Theory: An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics|출판사=[[옥스퍼드 대학교|Oxford University]] Press|isbn=978-0-19-954758-6|날짜=2009-08-27|기타=Oxford Graduate Texts|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780199547586.do|언어=en|access-date=2013-06-22|archive-date=2013-06-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20130619154224/http://ukcatalogue.oup.com/product/9780199547586.do|url-status=dead}}
* {{저널 인용|arxiv=1110.4235|제목=Selected topics in classical integrability|이름=Anastasia|성=Doikou|bibcode=	2012IJMPA..2730003D|doi=10.1142/S0217751X12300037|저널=International Journal of Modern Physics A|권=27|호=5|쪽=1230003|issn=0217-751X|날짜=2012-02-20|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=The symmetries of solitons|이름=Richard S.|성=Palais|doi=10.1090/S0273-0979-97-00732-5|mr=1462745|저널=Bulletin of the American Mathematical Society (New Series)|권=34|호=4|날짜=1997-10|쪽=339–403|언어=en|issn=0273-0979}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9708114|제목=Quantum integrable systems: basic concepts and brief overview|이름=Anjan|성=Kundu|bibcode=1997hep.th....8114K|날짜=1997|언어=en}}
* {{서적 인용|arxiv=q-alg/9703023|장=Quantum and classical integrable systems|doi=10.1007/BFb0113700|언어=en|이름=M. A.|성=Semenov-Tian-Shansky|제목=Integrability of Nonlinear Systems: Proceedings of the CIMPA School, Pondicherry University, India, 8–26 January 1996|기타=Lecture Notes in Physics 495|날짜=1997|쪽=314–377|isbn=978-3-540-63353-2|issn=0075-8450|출판사=Springer|위치=Berlin, Heidelberg|bibcode=1997q.alg.....3023S}}
* {{저널 인용|제목= Classical integrable systems and gauge field theories|arxiv=0802.3857|이름=M.|성=Olshanetsky|doi=10.1134/S1063779609010067|bibcode=2009PPN....40...93O|저널=Physics of Particles and Nuclei|날짜=2009-01|권=40|호=1|쪽=93–114|issn=1063-7796|언어=en}}
* {{서적 인용|arxiv=alg-geom/9507017|장=Spectral curves, algebraically completely integrable, hamiltonian systems, and moduli of bundles|이름=Ron Y.|성=Donagi|공저자=Eyal Markman|언어=en|bibcode=1995alg.geom..7017D|날짜=1996|doi=10.1007/BFb0094792|제목=Integrable Systems and Quantum Groups: Lectures given at the 1st Session of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Montecatini Terme, Italy, June 14–22, 1993|기타=Lecture Notes in Mathematics 1620|날짜=1996|쪽=1–119|isbn=978-3-540-60542-3|issn=0075-8434|출판사=Springer|위치=Berlin, Heidelberg|zbl=0853.35100}}
* {{저널 인용|제목=Quantum and classical integrability: new approaches in statistical mechanics|doi=10.1016/0167-2789(91)90221-T|bibcode=1991PhyD...51...43B|성=Bullough|이름=R. K.|공저자=N. M. Bogoliubov, J. Timonen|언어=en|저널=Physica D: Nonlinear Phenomena|권=51|호=1–3|쪽=43-51|날짜=1991-08|issn=0167-2789}}
* {{저널 인용|제목=Review of AdS/CFT integrability: an overview|이름=Niklas|성=Beisert|공저자=Changrim Ahn, Luis F. Alday, Zoltán Bajnok, James M. Drummond, Lisa Freyhult, Nikolay Gromov, Romuald A. Janik, Vladimir Kazakov, Thomas Klose, Gregory P. Korchemsky, Charlotte Kristjansen, Marc Magro, Tristan McLoughlin, Joseph A. Minahan, Rafael I. Nepomechie, Adam Rej, Radu Roiban, Sakura Schäfer-Nameki, Christoph Sieg, Matthias Staudacher, Alessandro Torrielli, Arkady A. Tseytlin, Pedro Vieira, Dmytro Volin, Konstantinos Zoubos|bibcode=2012LMaPh..99....3B|doi=10.1007/s11005-011-0529-2|저널=Letters in Mathematical Physics|권=99|호=1–3|쪽=3–32|날짜=2012-01|issn=0377-9017|언어=en|arxiv=1012.3982}}
* {{저널 인용|제목=New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry|이름=A.|성=Sergyeyev|bibcode=2018LMaPh.108..359S |doi=10.1007/s11005-017-1013-4|저널=Letters in Mathematical Physics|권=108|호=2|쪽=359–376|날짜=2018-02|issn=0377-9017|언어=en|arxiv=1401.2122}}
* {{저널 인용|제목=Seiberg–Witten integrable systems|이름=Ron Y.|성=Donagi|arxiv=alg-geom/9705010|bibcode=1997alg.geom..5010D|zbl=0896.58057|mr=1492533|언어=en|날짜=1997}}

== 같이 보기 ==
* [[양-백스터 방정식]](Yang–Baxter equation)
* [[히친 계]]
* [[럭스 쌍]](Lax pair, {{llang|hu|Lax Péter Dávid}})
* [[솔리톤]]

{{전거 통제}}
[[분류:적분가능계| ]]
[[분류:동역학계]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:편미분 방정식]]