재생핵 힐베르트 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서, '''재생핵 힐베르트 공간'''(再生核Hilbert空間, {{llang|en|reproducing kernel Hilbert space}})은 값매김 연산자가 [[유계 작용소]]인, 함수로 구성된 [[힐베르트 공간]]이다.<ref name="MA">{{웹 인용|이름1=Jonathan H.|성1=Manton|이름2=Pierre-Olivier|성2=Amblard|날짜=2004|arxiv= 1408.0952 |제목=A primer on reproducing kernel Hilbert spaces|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Berlinet|이름= Alain |성2= Thomas|이름2= Christine|제목= Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics | 출판사= Kluwer Academic Publishers|언어= en|날짜=2004}}</ref> 함수의 [[동치류]]로 구성된 [[르베그 공간]] 따위와 달리, 재생핵 힐베르트 공간은 함수로 구성되어야 한다. ([[르베그 공간]]의 경우, 주어진 점에서 함수 동치류의 원소들이 임의의 값을 가질 수 있어 값매김 연산자를 정의할 수 없다.)

== 정의 ==
<Math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 주어졌다고 하자. '''재생핵 <math>\mathbb K</math>-힐베르트 공간''' <math>(H,X,\iota,K)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>(H,\langle-|-\rangle)</math>
* [[집합]] <math>X</math>
* [[단사 함수|단사]] [[실수 선형 변환]] <math>\iota\colon H \hookrightarrow \mathbb K^X</math>
* 사상 <math>K \colon X\to H</math>, <math>x\mapsto K_x</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 <math>f\in H</math>에 대하여, <math>\operatorname{ev}_x(\iota(f)) = \langle K_x|f\rangle</math>
여기서
:<math>\operatorname{ev}_x\colon\mathbb K^X \to \mathbb K</math>
:<math>\operatorname{ev}_x\colon f\mapsto f(x)</math>
는 함수 공간 위의 값매김 사상이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립하여야 한다.
:<math>\begin{matrix}
X \times H & \overset{(\operatorname{id},\iota)} \to & X \times\mathbb K^X \\
{\scriptstyle(K,\operatorname{id})}\downarrow{\color{White}\scriptstyle(K,\operatorname{id})} & & {\color{White}\scriptstyle{\operatorname{ev}}}\downarrow{\scriptstyle{\operatorname{ev}}} \\
H \times H & \underset{\langle-|-\rangle}\to & \mathbb R
\end{matrix}</math>

이 경우, <math>(H,K,\iota,K)</math>의 '''재생핵'''은 다음과 같은 함수이다.
:<math>K(-,-) \colon X\times X \to \mathbb K</math>
:<Math>K(x,y) = \langle K_x|K_y\rangle</math>

== 분류 ==
<Math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. 함수
:<math>K\colon X\times X \to \mathbb K</math>
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 임의의 유한 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>, <math>|Y|<\aleph_0</math>에 대하여, 이를 표준적으로
:<math>K\colon \mathbb K^Y \times \mathbb K^Y \to \mathbb K</math>
:<math>K \colon \left(\sum_{x\in Y}a_xx,\sum_{y\in Y}b_yy\right) \mapsto \sum_{x,y\in Y}\bar a_xa_yK(x,y)</math>
로 선형으로 확장할 수 있다.

함수
:<math>K\colon X\times X \to \mathbb K</math>
가 다음 조건들을 만족시킨다면, 이를 <math>X</math> 위의 '''양의 정부호 핵'''({{llang|en|positive-definite kernel}})이라고 한다.
* (대칭성) <math>K(x,y) = \overline{K(y,x)}\qquad\forall x,y\in X</math>
* (양의 부정부호) 임의의 유한 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math> 및 <math>\vec x,\vec y\in\mathbb K^Y</math>에 대하여, <math>K(\vec x,\vec y)\ge0</math>
* (비퇴화성) 임의의 유한 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math> 및 <math>\vec x\in\mathbb K^Y</math>에 대하여, <math>K(\vec x,\vec x) = 0</math>일 [[필요 조건]]은 <math>\vec x=\vec 0</math>인 것이다.

<math>X</math> 위의 양의 정부호 핵 <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 함수들을 생각하자.
:<math>f(y) = \sum_{x\in X}^\infty a_x K(x)</math>
:<math>\sum_{x\in X} a_x^2 K(x,x) < \infty</math>
:<Math>|\{x\in X\colon a_x \ne 0\}| \le \aleph_0</math>
이러한 함수들의 공간을 <math>H</math>라고 하자. 그 위에 내적
:<math>\left\langle\sum_xa_xK_x\Bigg|\sum_yb_yK_y\right\rangle = \sum_{x,y}a_xa_yK(x,y)</math>
을 정의하면, <Math>H</math>는 [[힐베르트 공간]]을 이루며
:<math>\forall x\in X\colon K_x \in H</math>
이다. 또한, 임의의
:<math>f = \sum_ya_yK_y</math>
에 대하여,
:<math>\left\langle K_x\Bigg|\sum_ya_yK_y\right\rangle = \sum_ya_yK(x,y) = f(x) </math>
이다. 즉, <math>(H,X,K)</math>는 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

반대로, 모든 재생핵 힐베르트 공간은 위와 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

== 예 ==
=== 유한 집합 위의 재생핵 힐베르트 공간 ===
<math>X</math>가 [[유한 집합]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>H = \mathbb K^X</math>
:<math>K(x,y) = \delta(x,y)</math> ([[크로네커 델타]])
는 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

보다 일반적으로, <math>H</math> 위의 재생핵 <math>\mathbb K</math>-힐베르트 공간은 모든 [[고윳값]]이 양의 실수인 <math>|X|\times|X|</math> [[대칭 행렬]](<math>\mathbb K=\mathbb R</math>) 또는 [[에르미트 행렬]](<math>\mathbb K=\mathbb C</math>)로 주어진다.

=== 페일리-위너 공간 ===
실수선 <math>X = \mathbb R</math> 위의 함수 공간
:<math>H = \{f \in\mathcal C^0(\mathbb R,\mathbb K)
\colon\operatorname{supp}(\mathcal Ff) \subseteq[-a,a]\}</math>
을 생각하자.<ref name="MA"/>{{rp|Example 4.2}} 즉, 이는 연속 함수 가운데, [[푸리에 변환]] 아래 주파수들의 절댓값이 <Math>a</math> 이하인 것들의 공간이다.
그 위의 힐베르트 내적은
:<math>\langle f|g\rangle = \int_{-\infty}^\infty \overline{f(x)}g(x)\,\mathrm dx
=\int_{-a}^a \overline{\mathcal Ff(\omega)}\mathcal Fg(\omega)\,\mathrm d\omega
</math>
이다.

이 경우, 재생핵은 다음과 같이 주어진다.
:<math>K(x,y) = \frac{\sin(a(y-x))}{\pi(y-x)}</math>
:<math>K_x\colon y \mapsto K(x,y)</math>
이 경우
:<math>\mathcal FK_x(\omega) = \exp(-\mathrm i\omega x) [-a\le\omega\le a]</math>
이다 (<math>[\dotsb]</math>는 [[아이버슨 괄호]]). 구체적으로, 임의의 <Math>f\in H</math>에 대하여
:<math>\langle K_x|f\rangle = \int_{-a}^a \overline{\mathcal FK_x(y)} f(y)\,\mathrm dy = \frac1{2\pi}\int_{-a}^a \mathcal Ff(\omega)\exp(\mathrm i\omega x)\,\mathrm d\omega = f(x) </math>
이다.

재생핵 <math>K_x</math>는 일종의 ‘주파수 한정’ [[디랙 델타]]로 생각할 수 있다. 만약 <math>a\to\infty</math> 극한을 취할 경우, [[분포 (해석학)|분포]]로서 <math>K(x,y) \to \delta(y-x)</math>가 된다.

=== 베르그만 공간 ===
[[복소평면]] 속의 원
:<math>\mathbb D=\{z\in\mathbb C\colon |z|<1\}</math>
위의 '''베르그만 공간'''({{Llang|en|Bergmann space}}) <math>H</math>는 L<sup>2</sup> 노름이 유한한 [[정칙 함수]] <Math>\mathbb D\to \mathbb C</math>들의 집합이며, 그 힐베르트 내적은 물론 L<sup>2</sup> 노름으로 유도된다. 이 경우, 재생핵
:<math>K(w,z) = \frac1{(1-\bar wz)^2}</math>
을 부여하면, <math>(\mathbb D,H,K)</math>는 복소수 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

=== 콤팩트 공간 위의 함수 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간]] <math>X</math>
* <math>X</math> 위의 유한 [[보렐 측도]] <math>\mu\colon\operatorname{Borel}(X)\to[0,\infty)</math>. 또한, 모든 [[열린집합]]의 측도가 양의 실수라고 하자.
* [[연속 함수]]인 양의 정부호 핵 <math>K\colon X\times X\to\mathbb R</math>
그렇다면, <math>K</math>는 연산자
:<math>T_K \colon \operatorname L^2(X)\to \operatorname L^2(X)</math>
:<math>T_K \colon f \mapsto \left(x\mapsto \int_X K(x,y)f(y)\,\mathrm d\mu(y)\right)</math>
를 정의한다. 이 경우, '''머서 정리'''({{llang|en|Mercer’s theorem}})에 의하여, <math>T_K</math>는 [[유계 작용소]]이며 [[콤팩트 작용소]]이며 [[자기 수반 작용소]]이며, 어떤 함수열
:<math>([f_i])_{i=0}^\infty \subseteq \operatorname L^2(X)</math>
을 [[고유 벡터]]로 가지며, 그 [[고윳값]]
:<math>T_K[f_i] = \sigma_i T_K</math>
들은 음이 아닌 실수 값의 감소 수열
:<Math>\infty > \sigma_0 > \sigma_1 > \dotsb > 0</math>
을 이룬다. 또한, <Math>([f_i])_{i=0}^\infty</math>는 [[힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2(X)</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다. 또한, 함수 동치류 <math>[f_i]</math>의 대표원 <math>f_i \colon X\to\mathbb K</math>를 (유일하게) [[연속 함수]]로 잡을 수 있다.

즉,
:<math>K(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \sigma_if_i(x)f_i(y)</math>
의 꼴이다. 이 경우,
:<math> H = \left\{f\in\operatorname L^2(X;\mathbb K) \cap \mathcal C^0(X,\mathbb K)\colon \sum_{i=0}^\infty \sigma_i^{-1}|\langle f|\phi\rangle_{\operatorname L^2}|^2 < \infty \right\}</math>
:<math>\langle f|g\rangle_H = \sum_{i=0}^\infty \sigma_i^{-1} \langle f|\phi_i\rangle_{\operatorname L^2}\langle \phi_i|g\rangle_{\operatorname L^2}</math>
로 놓으면, <math>(H,X,K)</math>는 <math>X</math> 위의 재생핵 힐베르트 공간을 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용 | url=http://ibisforest.org/index.php?再生核Hilbert空間 | 웹사이트=朱鷺の杜Wiki | 제목=再生核Hilbert空間 | 언어=ja | 확인날짜=2020-06-30 | 보존url=https://web.archive.org/web/20190724094028/http://ibisforest.org/index.php?%E5%86%8D%E7%94%9F%E6%A0%B8Hilbert%E7%A9%BA%E9%96%93 | 보존날짜=2019-07-24 | url-status=dead }}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:힐베르트 공간]]