장소 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''장소'''(場所, {{llang|en|locale|로케일}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[열린집합]]의 [[부분 순서 집합]]을 추상화한 구조이다. 장소의 [[범주 (수학)|범주]]의 대상은 [[완비 격자|완비]] [[헤이팅 대수]]와 같지만, 장소의 사상은 [[헤이팅 대수]]의 사상과 다르다.

== 정의 ==
'''완비 헤이팅 대수'''는 [[완비 격자]]인 [[헤이팅 대수]]이다. 두 완비 헤이팅 대수 사이의 '''완비 헤이팅 대수 준동형'''({{llang|en|complete Heyting algebra homomorphism}})은 모든 만남과 이음을 보존하는 [[함수]]이다. 완비 헤이팅 대수와 완비 헤이팅 대수 준동형은 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{CHey}</math>를 이룬다.

두 완비 헤이팅 대수 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 '''틀 사상'''({{llang|en|frame morphism}}) <math>f\colon X\to Y</math>은 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]]이다.
* 유한 만남을 보존한다. 즉, 유한 부분 집합 <math>\{x_i\}_{i\in I}\subseteq X</math>에 대하여 <math>\textstyle\bigwedge_{i\in I} f(x_i)=f\left(\bigwedge_{i\in I}x_i\right)</math>이다.
* 임의의 이음을 보존한다. 즉, [[부분 집합]] <math>\{x_i\}_{i\in I}\subseteq X</math>에 대하여 <math>\textstyle\bigvee_{i\in I} f(x_i)=f\left(\bigvee_{i\in I}x_i\right)</math>이다.
'''틀'''({{llang|en|frame}})은 완비 헤이팅 대수와 같다. 틀과 틀 사상은 범주 <math>\operatorname{Frm}</math>을 이룬다.

'''장소'''의 범주는 틀의 범주의 [[반대 범주]]이다.
:<math>\operatorname{Loc}=\operatorname{Frm}^{\operatorname{op}}</math>
즉, '''장소'''는 틀 또는 완비 헤이팅 대수와 같으며, 두 장소 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 '''장소 사상'''({{llang|en|locale morphism}}) <math>f\colon X\to Y</math>은 반대 방향의 틀 사상 <math>f^{\operatorname{op}}\colon Y\to X</math>과 같다.

=== 열린집합과 점 ===
장소 <math>L</math>의 '''[[열린집합]]'''({{llang|en|open}})은 <math>L</math>의 ([[부분 순서 집합]]으로서의) 원소이다. [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>은 위상 공간의 범주의 [[끝 대상]]이며, 위상 공간 <math>X</math>의 점은 [[한원소 공간]]으로부터 오는 [[연속 함수]] <math>f\colon\{\bullet\}\to X</math>로 생각할 수 있다. [[한원소 공간]]에 대응하는 위치 <math>\operatorname{Open}(\{\bullet\})=\{\varnothing,\{\bullet\}\}</math>는 두 개의 원소를 갖는 [[불 대수]]이며, 장소의 범주의 [[끝 대상]]이다. 장소 <math>L</math>의 '''점'''(點, {{llang|en|point}})은 장소 사상 <math>\operatorname{Open}(\{\bullet\})\to L</math>로 정의한다. 점 <math>p\colon
\operatorname{Open}(\{\bullet\})\to L</math> 및 열린집합 <math>U\in L</math>에 대하여, <math>p</math>가 <math>L</math>에 '''속한다'''({{llang|en|belongs to}})는 것은 틀 사상 <math>p^{\operatorname{op}}\colon L\to\operatorname{Open}(\{\bullet\})</math> 아래 <math>p^{\operatorname{op}}\colon U\mapsto \{\bullet\}\in \operatorname{Open}(\{\bullet\}</math>인 것이다.

=== 부분 장소 ===
장소 <math>L</math>의 '''부분 장소'''({{llang|en|sublocale}})는 [[정칙 단사 사상|정칙]] [[부분 대상]]이다. 보다 구체적으로, <math>L</math>의 부분 장소들은 다음과 같은 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>\nu\colon L\to L</math>와 [[일대일 대응]]한다.
* <math>\nu(U\wedge V)=\nu(U)\vee\nu(V)</math>
* <math>U\le j(U)</math>
* (멱등성) <math>\nu\circ\nu=\nu</math>
이는 <math>L</math> 위의 만남을 보존하는 [[모나드 (범주론)|모나드]]와 같다. 이러한 함수를 부분 장소의 '''핵'''(核, {{llang|en|nucleus}})이라고 한다.

부분 장소는 점들로 결정되지 않는다. 즉, 같은 점 집합을 갖는 부분 장소가 서로 다를 수 있다.

== 성질 ==
위상 공간의 경우, [[조밀 집합]]의 교집합은 일반적으로 [[조밀 집합]]이 아니다. 그러나 장소의 경우, 조밀 부분 장소의 교차는 항상 조밀 부분 장소이며, 특히 가장 작은 조밀 부분 장소가 존재한다.<ref name="Isbell"/><ref name="PP"/>{{rp|40, §8.3}}

=== 범주론적 성질 ===
장소의 범주 <math>\operatorname{Loc}</math>는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다.<ref name="PP">{{서적 인용|제목=Frames and locales: topology without points|성=Picado|이름=Jorge|성2=Pultr|이름2=Aleš|총서=Frontiers in Mathematics|issn=1660-8046|doi=10.1007/978-3-0348-0154-6|출판사=Birkhäuser|isbn=978-3-0348-0153-9|언어=en}}</ref>{{rp|59, §4.3.5}}

장소의 범주는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이루지 않는다. 장소 <math>L</math>에 대하여, [[지수 대상]] <math>(-)^L</math>이 항상 존재할 [[필요충분조건]]은 <math>L</math>이 국소 콤팩트 장소인 것이다.<ref>{{서적 인용|제목=Continuous lattices. Proceedings of the conference on topological and categorical aspects of continuous lattices (Workshop IV) held at the University of Bremen, Germany, November 9–11, 1979|장=Function spaces in the category of locales|이름=J. M. E.|성=Hyland|doi=10.1007/BFb0089910|isbn=978-3-540-10848-1|날짜=1981|언어=en}}</ref>

점을 충분히 가지는 장소들의 [[쌍대곱]]은 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[쌍대곱]]과 일치한다.

점을 충분히 가지는 장소들의 (무한할 수 있는) [[곱 (범주론)|곱]]의 점 집합은 각 장소의 점 집합들의 [[곱집합]]과 같다. 그러나 그 위의 위상은 일반적으로 [[곱위상]]과 다르다.

=== 위상 공간과의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 그 [[열린집합]]들의 [[부분 순서 집합]]은 장소 <math>\operatorname{Open}(X)</math>를 이룬다. 또한, 위상 공간의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, [[열린집합]]의 [[원상 (수학)|원상]]
:<math>f^{-1}\colon\operatorname{Open}(Y)\to\operatorname{Open}(X)</math>
:<math>f^{-1}\colon U\mapsto f^{-1}(U)</math>
은 역방향의 틀 사상, 즉 순방향의 장소 사상을 이루며, 이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서 장소의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Open}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Loc}</math>
를 정의한다. 이 함자는 [[오른쪽 수반 함자]]
:<math>\operatorname{Point}\colon\operatorname{Loc}\to\operatorname{Top}</math>
:<math>\operatorname{Open}\dashv\operatorname{Point}</math>
를 갖는다. 이 함자 아래, 장소 <math>L</math>에 대응하는 위상 공간 <math>\operatorname{Point}(L)</math>은 [[집합]]으로서 <math>L</math>의 점들의 집합 <math>\hom_{\operatorname{Loc}}(\operatorname{Open}(\{\bullet\}),L)</math>이며, 그 위의 [[열린집합]]은 <math>L</math>의 열린집합에 속하는 점들의 집합이다.

장소 <math>L</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>L\cong\operatorname{Open}(X)</math>인 위상 공간 <math>X</math>가 존재한다. 즉, [[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{Open}</math>의 [[치역]](의 [[동형]]에 대한 폐포)에 속한다.
* 임의의 <math>U,V\in L</math>에 대하여, 만약 <math>U</math>와 <math>V</math>가 같은 점들을 갖는다면 <math>U=V</math>이다.
이러한 장소를 '''점을 충분히 가지는 장소'''({{llang|en|locale with enough points}})라고 한다. 점을 충분히 가지는 장소들의 [[충만한 부분 범주]]를 <math>\operatorname{ptLoc}</math>로 쓰자.

사실, 위상 공간과 장소 사이의 [[수반 함자]] <math>\operatorname{Open}\dashv\operatorname{Point}</math>는 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>\operatorname{Top}{\to\atop\hookleftarrow}\operatorname{Sober}\simeq\operatorname{ptLoc}{\hookrightarrow\atop\leftarrow}\operatorname{Loc}</math>
여기서
* <math>\operatorname{Sober}</math>는 [[차분한 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* <math>\operatorname{Sober}</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[반사 부분 범주]]이다. 즉, [[충실충만한 함자|충실충만한]] 포함 함자 <math>\operatorname{Sober}\hookrightarrow\operatorname{Top}</math> 및 그 [[왼쪽 수반 함자]]가 존재한다.
* [[차분한 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Sober}</math>는 점을 충분히 가지는 장소의 범주 <math>\operatorname{ptLoc}</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.
* <math>\operatorname{ptLoc}</math>는 장소의 범주 <math>\operatorname{Loc}</math>의 [[쌍대 반사 부분 범주]]이다. 즉, [[충실충만한 함자|충실충만한]] 포함 함자 <math>\operatorname{Sober}\hookrightarrow\operatorname{Top}</math> 및 그 [[오른쪽 수반 함자]]가 존재한다.

=== 층론적 성질 ===
장소 <math>L</math>이 주어졌다고 하자. [[부분 순서 집합]]으로서, 이는 [[작은 범주]]로 여길 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 표준적인 [[그로텐디크 준위상]]이 존재한다.
* [[열린집합]] <math>U\in L</math>의 '''덮개'''는 <math>\textstyle\bigvee_{i\in I}U_i=U</math>인 [[부분 집합]] <math>\{U_i\}_{i\in I}\subseteq L</math>이다.
이에 따라, 모든 장소 <math>L</math>은 [[위치 (수학)|위치]]를 이루며, 장소 <Math>L</math>위의 (집합 값의) [[층 (수학)|층]]들의 범주 <math>\operatorname{Sh}(L)</math>는 [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다. 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, <math>X</math> 위의 [[층 (수학)|층]]의 개념은 장소 <math>\operatorname{Open}(X)</math> 위의 층의 개념과 일치한다.

[[토포스]]와 [[기하학적 사상]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Topos}</math>를 생각하자. (집합론적인 문제를 무시하자.) 이 경우, 장소의 범주로부터 토포스의 범주로 가는 함자
:<math>\operatorname{Sh}\colon\operatorname{Loc}\to\operatorname{Topos}</math>
가 존재하며, 이는 [[충실충만한 함자]]이다.

== 종류 ==
[[일반위상수학]]에서 [[위상 공간  (수학)|위상 공간]]에 대하여 정의되는 대부분의 성질들은 [[열린집합]]을 통해 나타낼 수 있으며, 따라서 장소에 대하여 쉽게 일반화될 수 있다. 예를 들어, 장소 <math>L</math>의 '''[[열린 덮개]]'''는 그 만남이 [[최대 원소]]를 이루는 만족시키는 부분 집합 <math>\{U_i\}_{i\in I}\subseteq L</math>이다.
:<math>\bigvee_{i\in I}U_i=\max L=\bigvee_{U\in L}U</math>
'''[[콤팩트 공간|콤팩트]] 장소'''는 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 장소이다.

== 역사 ==
1928년에 [[카를 멩거]]({{llang|de|Karl Menger}}, 1902~1985)는 공간의 개념을 점을 사용하지 않고 정의할 수 있다는 아이디어를 제시하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Dimensionstheorie|이름=Karl|성=Menger|날짜=1928|출판사=B. G. Teubner|jfm=54.0617.03|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Menger and Nöbeling on pointless topology|이름=Mathieu|성=Bélanger|이름2=Jean-Pierre|성2=Marquis|doi=10.12775/LLP.2013.009|저널=Logic and Logical Philosophy|권=22|호=2|날짜=2013|issn=1425-3305|쪽=145–165|언어=en}}</ref> 1930년대에 [[마셜 하비 스톤]]은 [[격자 (순서론)|격자 이론]]을 연구하였으며, 위상 공간의 성질이 그 [[열린집합]]들의 [[완비 격자|완비]] [[헤이팅 대수]]와 관련된다는 사실을 발견하였다.

[[샤를 에레스만]]과 그 제자 장 베나부({{llang|fr|Jean Bénabou}})는 위상 공간의 열린집합의 격자와 같은 성질을 갖는 [[격자 (순서론)|격자]] (즉, 완비 헤이팅 대수)를 "국소 격자"({{llang|fr|treillis local}})로 명명하였다. 클리퍼드 휴 다우커({{llang|en|Clifford Hugh Dowker}}, 1912~1982)와 도나 앤셜 패퍼트 스트라우스({{llang|en|Dona Anschel Papert Strauss}})는 이를 대신하여 "틀"({{llang|en|frame}})이라는 용어를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Quotient frames and subspaces|이름=C. H.|성=Dowker|이름2=Dona|성2=Papert|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|날짜=1966|doi=10.1112/plms/s3-16.1.275|권=16|호=1|쪽=275–296|언어=en}}</ref><ref name="Johnstone83">{{저널 인용|제목=The point of pointless topology|이름=Peter T.|성=Johnstone|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=8|호=1|날짜=1983|쪽=41–53|mr=682820|zbl=0499.54002|issn=0273-0979|doi=10.1090/S0273-0979-1983-15080-2|언어=en}}</ref> 이후 존 이스벨({{llang|en|John R. Isbell}}, 1931~2005)이 틀의 범주의 [[반대 범주]]를 지칭하는 '''장소'''({{llang|en|locale}})라는 용어를 도입하였다.<ref name="Isbell">{{저널 인용|제목=Atomless parts of spaces|이름=John R. |성=Isbell|쪽=5–32|저널=Mathematica Scandinavica|권=31|issn=0025-5521|url=http://www.mscand.dk/article/view/11409/9426|언어=en}}</ref><ref name="Johnstone83"/>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=The art of pointless thinking: a student’s guide to the category of locales|제목=Category theory at work|장url=http://www.heldermann.de/R&E/RAE18/ctw06.pdf|이름=Peter T.|성=Johnstone|editor1-first=H.|editor1-last=Herrlich|editor2-first=H.-E.|editor2-last=Porst|출판사=Springer|날짜=1991|쪽=85–107|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Elements of the history of locale theory|제목=Handbook of the history of general topology|doi=10.1007/978-94-017-0470-0_2|이름=Peter T.|성=Johnstone|editor1-first=C. E.|editor1-last=Aull|editor2-first=R.|editor2-last=Lowen|출판사=Springer|날짜=2001|쪽=835-851|isbn=978-90-481-5704-4|총서=History of Topology|권=3|issn=1388-4336|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Peter T.|성=Johnstone|제목=Stone spaces|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=3|출판사=Cambridge University Press|날짜=1983-04|mr=0698074|zbl=0499.54001|url=http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/logic-categories-and-sets/stone-spaces?format=HB|isbn=978-052123893-9|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Locale}}
* {{nlab|id=locale|title=Locale}}
** {{nlab|id=Loc}}
* {{nlab|id=frame|title=Frame}}
** {{nlab|id=Frm}}
* {{nlab|id=sublocale|title=Sublocale}}
* {{nlab|id=nucleus|title=Nucleus}}
* {{nlab|id=point of a locale|title=Point of a locale}}
* {{nlab|id=frame of opens|title=Frame of opens}}
* {{nlab|id=topological locale|title=Topological locale}}
* {{nlab|id=locally compact locale|title=Locally compact locale}}
* {{nlab|id=uniform locale|title=Uniform locale}}
* {{nlab|id=measurable locale|title=Measurable locale}}
* {{nlab|id=pointless topology|title=Pointless topology}}
* {{nlab|id=localic topos|title=Localic topos}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/53929/locales-and-topology|제목=Locales and topology|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:격자 이론]]